Упр.360 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\log_{8}(x^2-4x+3)<1$$
- $$\log_{6}(x^2-3x+2)>1$$
- $$\log_{3}(x^2+2x)>1$$
- $$\log_{\frac{2}{3}}(x^2-2{,}5x)<-1$$
1) $$\log_8(x^2-4x+3)<1$$
Так как $$8>1,$$ получаем
$$x^2-4x+3<8,$$
$$x^2-4x-5<0.$$
Найдём корни уравнения $$x^2-4x-5=0$$:
$$D=16+20=36,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2},\quad x_1=-1,\ x_2=5.$$
Тогда
$$-1<x<5.$$
Область определения:
$$x^2-4x+3>0,$$
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0,$$
откуда
$$x<1 \text{ или } x>3.$$
Пересекаем с найденным промежутком:
$$x\in(-1;1)\cup(3;5).$$
2) $$\log_6(x^2-3x+2)\ge 1$$
Так как $$6>1,$$ имеем
$$x^2-3x+2\ge 6,$$
$$x^2-3x-4\ge 0.$$
Найдём корни уравнения $$x^2-3x-4=0$$:
$$D=9+16=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2},\quad x_1=-1,\ x_2=4.$$
Тогда
$$x\le -1 \text{ или } x\ge 4.$$
Область определения:
$$x^2-3x+2>0,$$
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)>0,$$
откуда
$$x<1 \text{ или } x>2.$$
Пересечение даёт
$$x\in(-\infty;-1]\cup[4;+\infty).$$
3) $$\log_3(x^2+2x)>1$$
Так как $$3>1,$$ получаем
$$x^2+2x>3,$$
$$x^2+2x-3>0.$$
Найдём корни уравнения $$x^2+2x-3=0$$:
$$D=4+12=16,$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2},\quad x_1=-3,\ x_2=1.$$
Тогда
$$x<-3 \text{ или } x>1.$$
Область определения:
$$x^2+2x>0,$$
$$x(x+2)>0,$$
откуда
$$x<-2 \text{ или } x>0.$$
Пересечение с найденным решением не меняет ответ:
$$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$$
4) $$\log_{\frac23}(x^2-2{,}5x)<-1$$
Так как $$0<\frac23<1,$$ при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:
$$x^2-2{,}5x>\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32.$$
Получаем
$$x^2-2{,}5x-1{,}5>0.$$
Найдём корни уравнения $$x^2-2{,}5x-1{,}5=0$$:
$$D=2{,}5^2+6=12{,}25,$$
$$x_{1,2}=\frac{2{,}5\pm 3{,}5}{2},\quad x_1=-0{,}5,\ x_2=3.$$
Тогда
$$x<-0{,}5 \text{ или } x>3.$$
Область определения:
$$x^2-2{,}5x>0,$$
$$x(x-2{,}5)>0,$$
откуда
$$x<0 \text{ или } x>2{,}5.$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-0{,}5)\cup(3;+\infty).$$
Ответ
1) $$x\in(-1;1)\cup(3;5);$$ 2) $$x\in(-\infty;-1]\cup[4;+\infty);$$ 3) $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty);$$ 4) $$x\in(-\infty;-0{,}5)\cup(3;+\infty).$$
