Упр.357 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) log1/3(x — 2) + log1/3(12 — x) > = -2.

1. $$\log_{15}(x-3)+\log_{15}(x-5)<1$$

   Используем свойство логарифмов:

   $$\log_{15}\bigl((x-3)(x-5)\bigr)<\log_{15}15$$

   Так как $$15>1$$, получаем:

   $$ (x-3)(x-5)<15 $$

   $$ x^2-8x+15<15 $$

   $$ x^2-8x<0 $$

   $$ x(x-8)<0 $$

   Отсюда:

   $$ 0<x<8 $$

   Область определения:

   $$ x-3>0,\quad x-5>0 $$

   значит, $$x>5$$.

   Пересекаем с найденным промежутком:

   $$ 5<x<8 $$

2. $$\log_{\frac13}(x-2)+\log_{\frac13}(12-x)\ge -2$$

   Запишем правую часть как логарифм:

   $$\log_{\frac13}(x-2)+\log_{\frac13}(12-x)\ge \log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-2}$$

   Тогда

   $$\log_{\frac13}\bigl((x-2)(12-x)\bigr)\ge \log_{\frac13}9$$

   Так как $$\frac13<1$$, знак неравенства меняется:

   $$ (x-2)(12-x)\le 9 $$

   $$ 12x-x^2-24+2x\le 9 $$

   $$ -x^2+14x-24\le 9 $$

   $$ x^2-14x+33\ge 0 $$

   $$ (x-3)(x-11)\ge 0 $$

   Отсюда:

   $$ x\le 3 \quad \text{или} \quad x\ge 11 $$

   Область определения:

   $$ x-2>0,\quad 12-x>0 $$

   значит, $$2<x<12$$.

   Пересекаем с найденным множеством:

   $$ 2<x\le 3 \quad \text{или} \quad 11\le x<12 $$

Ответ

1) $$5<x<8$$; 2) $$2<x\le 3$$ или $$11\le x<12$$.