Упр.353 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 353 Найти все значения параметра а, при которых уравнение 5 log5(х) + loga(х) — 4 log25(х )= а имеет корни. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 353 1111

Используем свойства логарифмов:

$$ 5\log_5 x+\log_a x-4\log_{25}x=a $$
$$ 5\log_5 x+\frac{\log_5 x}{\log_5 a}-4\cdot \frac{\log_5 x}{\log_5 25}=a $$
Так как $$\log_5 25=2,$$ получаем
$$ 5\log_5 x+\frac{\log_5 x}{\log_5 a}-2\log_5 x=a. $$
Соберём подобные:
$$ \log_5 x\left(3+\frac{1}{\log_5 a}\right)=a. $$
Отсюда
$$ \log_5 x=\frac{a}{3+\frac{1}{\log_5 a}} =\frac{a\log_5 a}{3\log_5 a+1}. $$
Тогда
$$ x=5^{\frac{a\log_5 a}{3\log_5 a+1}}. $$

Чтобы уравнение имело смысл, нужно:

$$ a>0,\quad a\ne 1. $$

Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$ 3\log_5 a+1\ne 0, $$
$$ \log_5 a\ne -\frac13, $$
$$ a\ne 5^{-\frac13}. $$

При этих условиях полученное значение $$x$$ существует, значит уравнение имеет корни.

Ответ

$$ a>0,\quad a\ne 1,\quad a\ne 5^{-\frac13}. $$