Упр.353 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$5\log_{5}(x)+\log_{a}(x)-4\log_{25}(x)=a$$ имеет корни.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

$$5\log_5 x+\log_a x-4\log_{25}x=a.$$

Так как $$25=5^2,$$ то

$$\log_{25}x=\frac{\log_5 x}{\log_5 25}=\frac{\log_5 x}{2}.$$

Тогда

$$5\log_5 x+\log_a x-2\log_5 x=a,$$

$$3\log_5 x+\log_a x=a.$$

Переходим к основанию $$5$$:

$$\log_a x=\frac{\log_5 x}{\log_5 a}.$$

Получаем

$$3\log_5 x+\frac{\log_5 x}{\log_5 a}=a,$$

$$\log_5 x\left(3+\frac{1}{\log_5 a}\right)=a.$$

Отсюда

$$\log_5 x=\frac{a}{3+\frac{1}{\log_5 a}}=\frac{a\log_5 a}{3\log_5 a+1},$$

$$x=5^{\frac{a\log_5 a}{3\log_5 a+1}}.$$

Чтобы уравнение имело смысл и корни, нужно:

• $$a>0,$$
• $$a\ne 1,$$
• $$\log_5 a\ne -\frac13,$$ то есть $$a\ne 5^{-\frac13}.$$

При этих значениях параметра найденное выражение задаёт корень уравнения.

Ответ: $$a>0,\ a\ne 1,\ a\ne 5^{-\frac13};\quad x=5^{\frac{a\log_5 a}{3\log_5 a+1}}.$$