Упр.352 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2\log_2^2(x)+3\log_2(x)-5=\log_2(2x)$$

1) $$\sqrt{\log_x 25+3}=\frac{1}{\log_5 x}$$

Используем свойство $$\frac{1}{\log_5 x}=\log_x 5$$, тогда

$$\sqrt{\log_x 25+3}=\log_x 5.$$

Так как $$\log_x 25=2\log_x 5,$$ получаем

$$\sqrt{2\log_x 5+3}=\log_x 5.$$

Сделаем замену $$\log_x 5=t.$$ Тогда

$$\sqrt{2t+3}=t.$$

Возведём в квадрат:

$$2t+3=t^2$$

$$t^2-2t-3=0$$

$$\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0$$

$$t=3 \quad \text{или} \quad t=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_x 5=3 \Rightarrow x^3=5 \Rightarrow x=\sqrt[3]{5},$$

$$\log_x 5=-1 \Rightarrow x^{-1}=5 \Rightarrow x=\frac{1}{5}.$$

Проверка области определения: $$x>0,\ x\ne 1.$$ Оба значения подходят.

2) $$\sqrt{2\log_2^2 x+3\log_2 x-5}=\log_2 2x$$

Так как $$\log_2 2x=1+\log_2 x,$$ получаем

$$\sqrt{2\log_2^2 x+3\log_2 x-5}=1+\log_2 x.$$

Сделаем замену $$\log_2 x=t.$$ Тогда

$$\sqrt{2t^2+3t-5}=1+t.$$

Возведём в квадрат:

$$2t^2+3t-5=t^2+2t+1$$

$$t^2+t-6=0$$

$$\left(t-2\right)\left(t+3\right)=0$$

$$t=2 \quad \text{или} \quad t=-3.$$

Проверим:

$$t=2 \Rightarrow \log_2 x=2 \Rightarrow x=4,$$

$$t=-3 \Rightarrow \log_2 x=-3 \Rightarrow x=\frac{1}{8}.$$

Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ

1) $$x=\sqrt[3]{5},\ \frac{1}{5}$$

2) $$x=4,\ \frac{1}{8}$$