Упр.352 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) корень (2log^2 2(x) + 3log2(x) — 5) = log2(2x).

1. $$\sqrt{\log_x 25+3}=\frac{1}{\log_5 x}$$

   Используем свойство $$\frac{1}{\log_5 x}=\log_x 5$$. Тогда

   $$\sqrt{\log_x 25+3}=\log_x 5$$

   Так как $$\log_x 25=2\log_x 5$$, получаем

   $$\sqrt{2\log_x 5+3}=\log_x 5$$

   Сделаем замену: $$t=\log_x 5$$. Тогда

   $$\sqrt{2t+3}=t$$

   Возведём в квадрат:

   $$2t+3=t^2$$

   $$t^2-2t-3=0$$

   $$\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0$$

   $$t=3 \quad \text{или} \quad t=-1$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_x 5=3 \Rightarrow x^3=5 \Rightarrow x=\sqrt[3]{5}$$

   $$\log_x 5=-1 \Rightarrow x^{-1}=5 \Rightarrow x=\frac{1}{5}$$

   Оба значения удовлетворяют области определения.

2. $$\sqrt{\log_2^2 x+3\log_2 x-5}=\log_2 2x$$

   Так как $$\log_2 2x=1+\log_2 x$$, получаем

   $$\sqrt{\log_2^2 x+3\log_2 x-5}=1+\log_2 x$$

   Сделаем замену: $$t=\log_2 x$$. Тогда

   $$\sqrt{t^2+3t-5}=1+t$$

   Возведём в квадрат:

   $$t^2+3t-5=(1+t)^2$$

   $$t^2+3t-5=t^2+2t+1$$

   $$t=6$$

   Тогда

   $$\log_2 x=6 \Rightarrow x=2^6=64$$

   Проверка: $$\sqrt{6^2+3\cdot 6-5}=\sqrt{49}=7$$, $$\log_2 2\cdot 64=\log_2 128=7$$.

Ответ

1) $$x=\sqrt[3]{5},\ \frac{1}{5}$$; 2) $$x=64$$.