Упр.351 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$2\log_{5}(4-x)\cdot\log_{2x}(4-x)=3\log_{5}(4-x)-\log_{5}(2x)$$
1) Рассмотрим уравнение
$$\lg^2(x+1)=\lg(x+1)\cdot \lg(x-1)+2\lg^2(x-1).$$
Положим
$$t=\frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)}.$$
Тогда исходное уравнение примет вид
$$t^2-t-2=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2},$$
откуда
$$t_1=2,\qquad t_2=-1.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$.
1. Если $$\frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)}=2,$$ то
$$\lg(x+1)=2\lg(x-1)=\lg^2(x-1),$$
то есть
$$x+1=(x-1)^2.$$
Получаем
$$x^2-3x=0,$$
$$x(x-3)=0.$$
С учётом области определения $$x>1$$ подходит только
$$x=3.$$
2. Если $$\frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)}=-1,$$ то
$$\lg(x+1)=-\lg(x-1)=\lg\frac{1}{x-1},$$
значит
$$x+1=\frac{1}{x-1}.$$
Тогда
$$x^2=2,$$
$$x=\pm \sqrt{2}.$$
С учётом условия $$x>1$$ подходит только
$$x=\sqrt{2}.$$
Итак, решения первого уравнения:
$$x=3,\ \sqrt{2}.$$
2) Рассмотрим уравнение
$$2\log_5(4-x)\cdot \log_{2x}(4-x)=3\log_5(4-x)-\log_5(2x).$$
Используем формулу перехода к новому основанию:
$$\log_{2x}(4-x)=\frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}.$$
Тогда
$$2\log_5(4-x)\cdot \frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}=3\log_5(4-x)-\log_5(2x).$$
Положим
$$t=\frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}.$$
Получаем
$$2t^2-3t+1=0.$$
Решаем:
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1,$$
$$t_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4},$$
то есть
$$t_1=1,\qquad t_2=\frac12.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$.
1. Если $$\frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}=1,$$ то
$$\log_5(4-x)=\log_5(2x),$$
следовательно,
$$4-x=2x,$$
$$3x=4,$$
$$x=\frac43.$$
2. Если $$\frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}=\frac12,$$ то
$$2\log_5(4-x)=\log_5(2x),$$
то есть
$$\log_5^2(4-x)=\log_5(2x).$$
Удобнее записать как
$$\log_5(4-x)=\log_5\sqrt{2x},$$
откуда
$$4-x=\sqrt{2x}.$$
Возводим в квадрат:
$$x^2-8x+16=2x,$$
$$x^2-10x+16=0.$$
Тогда
$$D=10^2-4\cdot 1\cdot 16=36,$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2},$$
то есть
$$x_1=8,\qquad x_2=2.$$
Проверка по области определения показывает, что $$x=8$$ не подходит, а $$x=2$$ подходит.
Итак, решения второго уравнения:
$$x=\frac43,\ 2.$$
Ответ: 1) $$3,\ \sqrt{2}$$; 2) $$\frac43,\ 2$$.
