Упр.351 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 2 log5 (4 — x) * log2x (4 — x) = 3 log5 (4 — x) — log5 (2x).

1. Решим уравнение

   $$\lg^2(x+1)=\lg(x+1)\cdot \lg(x-1)+2\lg^2(x-1).$$

   Пусть

   $$t=\frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)}.$$

   Тогда получаем

   $$t^2-t-2=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$t_1=2,\quad t_2=-1.$$

   1) Если $$\frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)}=2,$$ то

   $$\lg(x+1)=2\lg(x-1)=\lg (x-1)^2,$$

   откуда

   $$x+1=(x-1)^2.$$

   $$x^2-3x=0,$$

   $$x(x-3)=0.$$

   С учётом области определения $$x>1$$ получаем $$x=3.$$

   2) Если $$\frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)}=-1,$$ то

   $$\lg(x+1)=-\lg(x-1)=\lg\frac1{x-1},$$

   значит

   $$x+1=\frac1{x-1}.$$

   Тогда

   $$x^2=2,$$

   $$x=\pm\sqrt2.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=\sqrt2.$$

2. Решим уравнение

   $$2\log_5(4-x)\cdot \log_{2x}(4-x)=3\log_5(4-x)-\log_5(2x).$$

   Пусть

   $$t=\frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}.$$

   Тогда

   $$2t^2-3t+1=0.$$

   Решаем:

   $$D=9-8=1,$$

   $$t_1=1,\quad t_2=\frac12.$$

   1) Если $$\frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}=1,$$ то

   $$\log_5(4-x)=\log_5(2x),$$

   $$4-x=2x,$$

   $$x=\frac43.$$

   2) Если $$\frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}=\frac12,$$ то

   $$\log_5(4-x)=\log_5\sqrt{2x},$$

   $$4-x=\sqrt{2x}.$$

   Возводим в квадрат:

   $$x^2-10x+16=0.$$

   $$D=100-64=36,$$

   $$x_1=8,\quad x_2=2.$$

   По ОДЗ подходит только $$x=2.$$

Ответ

1) $$3,\ \sqrt2$$

2) $$\frac43,\ 2$$