Упр.350 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\lg(6\cdot 5x-25\cdot 20x)-\lg 25=x$$
2. $$\lg(2x+x+4)=x-x\lg$$

1) Преобразуем уравнение:

$$\lg(6\cdot 5^x-25\cdot 20^x)-\lg 25=x$$

$$\lg\frac{6\cdot 5^x-25\cdot 20^x}{25}=\lg 10^x$$

$$\frac{6\cdot 5^x-25\cdot 20^x}{25}=10^x$$

$$6\cdot 5^x-25\cdot 20^x=25\cdot 10^x$$

$$6\cdot 5^x-25\cdot 4^x\cdot 5^x=25\cdot 2^x\cdot 5^x$$

$$6-25\cdot 2^{2x}-25\cdot 2^x=0$$

Сделаем замену $$t=2^x$$, тогда получим:

$$25t^2+25t-6=0$$

$$D=25^2-4\cdot 25\cdot(-6)=1225$$

$$t_{1,2}=\frac{-25\pm 35}{50}$$

$$t_1=\frac{1}{5},\qquad t_2=-\frac{6}{5}$$

Так как $$t=2^x>0$$, значение $$t_2$$ не подходит. Тогда

$$2^x=\frac{1}{5}=5^{-1}$$

$$x=\log_2\frac{1}{5}=-\log_2 5$$

2) Решим уравнение:

$$\lg(2^x+x+4)=x-x\lg 5$$

$$\lg(2^x+x+4)=\lg 10^x-\lg 5^x$$

$$\lg(2^x+x+4)=\lg\left(\frac{10}{5}\right)^x=\lg 2^x$$

Следовательно,

$$2^x+x+4=2^x$$

$$x+4=0$$

$$x=-4$$

Ответ

1) $$x=-\log_2 5$$; 2) $$x=-4$$.