Упр.350 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) lg(2x+x+4) = x-xlg.

1. $$\lg(6\cdot 5^x-25\cdot 20^x)-\lg 25=x.$$

   По свойству логарифмов:

   $$\lg\frac{6\cdot 5^x-25\cdot 20^x}{25}=\lg 10^x,$$

   значит

   $$\frac{6\cdot 5^x-25\cdot 20^x}{25}=10^x.$$

   Умножим на $$25$$:

   $$6\cdot 5^x-25\cdot 20^x=25\cdot 10^x.$$

   Перепишем степени:

   $$6\cdot 5^x-25\cdot 4^x\cdot 5^x=25\cdot 2^x\cdot 5^x.$$

   Разделим на $$5^x$$:

   $$6-25\cdot 4^x=25\cdot 2^x.$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$4^x=t^2$$. Получаем:

   $$25t^2+25t-6=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=25^2-4\cdot 25\cdot(-6)=1225,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-25\pm 35}{50}.$$

   Тогда

   $$t_1=\frac15,\qquad t_2=-\frac65.$$

   Так как $$t=2^x>0$$, значение $$t_2$$ не подходит. Значит,

   $$2^x=\frac15=5^{-1},$$

   откуда

   $$x=\log_2\frac15=-\log_2 5.$$

2. $$\lg(2^x+x+4)=x-x\lg 5.$$

   Правая часть:

   $$x-x\lg 5=x(1-\lg 5)=x\lg 10-x\lg 5=\lg 10^x-\lg 5^x=\lg\frac{10^x}{5^x}=\lg 2^x.$$

   Тогда

   $$\lg(2^x+x+4)=\lg 2^x,$$

   следовательно,

   $$2^x+x+4=2^x.$$

   Отсюда

   $$x+4=0,$$

   $$x=-4.$$

Ответ

1) $$x=-\log_2 5$$; 2) $$x=-4$$.