Упр.348 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

348. 1) log2(х) — 2 logx(2) = -1;
2) log2(x) + logx(2) = 2,5;
3) log3(x) + 2logx(3) = 3;
4) log3(x) — 6 logx(3) = 1.

1. $$\log_2 x-2\log_x 2=-1$$

   Используем формулу $$\log_x 2=\dfrac{1}{\log_2 x}$$:

   $$\log_2 x-\frac{2}{\log_2 x}=-1$$

   Пусть $$t=\log_2 x$$, тогда

   $$t-\frac{2}{t}=-1$$

   $$t^2+t-2=0$$

   $$\left(t+2\right)\left(t-1\right)=0$$

   $$t=-2 \text{ или } t=1$$

   Тогда

   $$\log_2 x=-2 \Rightarrow x=2^{-2}=\frac14$$

   $$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2$$

   Оба значения подходят, так как $$x>0$$ и $$x\neq 1$$.

2. $$\log_2 x+\log_x 2=2{,}5$$

   Пусть $$t=\log_2 x$$, тогда $$\log_x 2=\dfrac{1}{t}$$:

   $$t+\frac{1}{t}=2{,}5$$

   $$2t^2-5t+2=0$$

   $$\left(2t-1\right)\left(t-2\right)=0$$

   $$t=\frac12 \text{ или } t=2$$

   Тогда

   $$\log_2 x=\frac12 \Rightarrow x=\sqrt2$$

   $$\log_2 x=2 \Rightarrow x=4$$

3. $$\log_3 x+2\log_x 3=3$$

   Пусть $$t=\log_3 x$$, тогда $$\log_x 3=\dfrac{1}{t}$$:

   $$t+\frac{2}{t}=3$$

   $$t^2-3t+2=0$$

   $$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$$

   $$t=1 \text{ или } t=2$$

   Тогда

   $$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3$$

   $$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9$$

4. $$\log_3 x-6\log_x 3=1$$

   Пусть $$t=\log_3 x$$, тогда $$\log_x 3=\dfrac{1}{t}$$:

   $$t-\frac{6}{t}=1$$

   $$t^2-t-6=0$$

   $$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0$$

   $$t=3 \text{ или } t=-2$$

   Тогда

   $$\log_3 x=3 \Rightarrow x=27$$

   $$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac19$$

Ответ

1) $$x=\frac14,\ 2$$; 2) $$x=\sqrt2,\ 4$$; 3) $$x=3,\ 9$$; 4) $$x=\frac19,\ 27$$.