Упр.348 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 348. Решить уравнение:
   1) $$\log_2(x)-2\log_x(2)=-1$$;
   2) $$\log_2(x)+\log_x(2)=2{,}5$$;
   3) $$\log_3(x)+2\log_x(3)=3$$;
   4) $$\log_3(x)-6\log_x(3)=1$$.

1) Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда $$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}=\frac{1}{t}.$$

Получаем уравнение:

$$t-2\cdot \frac{1}{t}=-1$$

$$t^2+t-2=0$$

$$\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0$$

Отсюда $$t=1$$ или $$t=-2.$$

Тогда

$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2,$$

$$\log_2 x=-2 \Rightarrow x=2^{-2}=\frac14.$$

$$x>0,\; x\ne 1.$$ Оба корня подходят.

2) Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда $$\log_x 2=\frac{1}{t}.$$

Имеем:

$$t+\frac{1}{t}=2{,}5$$

$$2t^2-5t+2=0$$

$$\left(2t-1\right)\left(t-2\right)=0$$

Отсюда $$t=\frac12$$ или $$t=2.$$

Тогда

$$\log_2 x=\frac12 \Rightarrow x=\sqrt2,$$

$$\log_2 x=2 \Rightarrow x=4.$$

$$x>0,\; x\ne 1.$$ Оба корня подходят.

3) Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда $$\log_x 3=\frac{1}{t}.$$

Получаем:

$$t+2\cdot \frac{1}{t}=3$$

$$t^2-3t+2=0$$

$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$$

Отсюда $$t=1$$ или $$t=2.$$

Тогда

$$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3,$$

$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9.$$

$$x>0,\; x\ne 1.$$ Оба корня подходят.

4) Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда $$\log_x 3=\frac{1}{t}.$$

Имеем:

$$t-6\cdot \frac{1}{t}=1$$

$$t^2-t-6=0$$

$$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0$$

Отсюда $$t=3$$ или $$t=-2.$$

Тогда

$$\log_3 x=3 \Rightarrow x=27,$$

$$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac19.$$

$$x>0,\; x\ne 1.$$ Оба корня подходят.

Ответ

1) $$x=\frac14,\; 2$$; 2) $$x=\sqrt2,\; 4$$; 3) $$x=3,\; 9$$; 4) $$x=\frac19,\; 27$$.