Упр.345 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$2^{3\lg x}\cdot 5^{\lg x}=1600$$

$$\left(2^3\cdot 5\right)^{\lg x}=1600$$

$$40^{\lg x}=40^2$$

$$\lg x=2$$

$$x=10^2=100$$

Ответ: $$100$$.

2) $$2^{\log_3 x^2}\cdot 5^{\log_3 x}=400$$

$$2^{2\log_3 x}\cdot 5^{\log_3 x}=400$$

$$4^{\log_3 x}\cdot 5^{\log_3 x}=400$$

$$\left(4\cdot 5\right)^{\log_3 x}=400$$

$$20^{\log_3 x}=20^2$$

$$\log_3 x=2$$

$$x=3^2=9$$

Ответ: $$9$$.

3) $$\frac{1}{4+\lg x}+\frac{2}{2-\lg x}=1$$

ОДЗ: $$4+\lg x\ne 0,\quad 2-\lg x\ne 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2-\lg x+2(4+\lg x)}{(4+\lg x)(2-\lg x)}=1$$

$$2-\lg x+8+2\lg x=(4+\lg x)(2-\lg x)$$

$$10+\lg x=8-2\lg x+\lg x(2-\lg x)$$

$$\lg^2 x+3\lg x+2=0$$

Пусть $$y=\lg x$$, тогда:

$$y^2+3y+2=0$$

$$\left(y+1\right)\left(y+2\right)=0$$

$$y_1=-1,\quad y_2=-2$$

Тогда:

$$\lg x=-1 \Rightarrow x=10^{-1}=0{,}1$$

$$\lg x=-2 \Rightarrow x=10^{-2}=0{,}01$$

Ответ: $$0{,}01;\ 0{,}1$$.

4) $$\frac{1}{5-\lg x}+\frac{2}{1+\lg x}=1$$

ОДЗ: $$5-\lg x\ne 0,\quad 1+\lg x\ne 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1+\lg x+2(5-\lg x)}{(5-\lg x)(1+\lg x)}=1$$

$$1+\lg x+10-2\lg x=(5-\lg x)(1+\lg x)$$

$$11-\lg x=5+4\lg x-\lg^2 x$$

$$\lg^2 x-5\lg x+6=0$$

Пусть $$y=\lg x$$, тогда:

$$y^2-5y+6=0$$

$$\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0$$

$$y_1=2,\quad y_2=3$$

Тогда:

$$\lg x=2 \Rightarrow x=10^2=100$$

$$\lg x=3 \Rightarrow x=10^3=1000$$

Ответ: $$100;\ 1000$$.