Упр.344 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) log2((x-1)/(x+4))+log2((x-1)(x+3)) = 2;
1) log3(x2)-log3(x/(x+6)) = 3;
1) log2((x+4)/x)+log2(x2) = 2.

1. $$\log_4((x+2)(x+3))+\log_4\frac{x-2}{x+3}=2$$

   Объединим логарифмы:
   $$\log_4\left((x+2)(x+3)\cdot \frac{x-2}{x+3}\right)=2$$
   $$\log_4(x^2-4)=2$$
   $$x^2-4=4^2=16$$
   $$x^2=20$$
   $$x=\pm 2\sqrt5$$

   Проверим ОДЗ:
   $$x^2-4>0 \Rightarrow x<-2 \text{ или } x>2,$$
   $$x+3>0,\quad x-2>0 \text{ для дроби } \frac{x-2}{x+3}.$$
   Подходит только $$x=2\sqrt5.$$

2. $$\log_2\frac{x-1}{x+4}+\log_2((x-1)(x+4))=2$$

   $$\log_2\left(\frac{x-1}{x+4}\cdot (x-1)(x+4)\right)=2$$
   $$\log_2(x-1)^2=2$$
   $$ (x-1)^2=2^2=4$$
   $$x-1=\pm 2$$
   $$x=3 \text{ или } x=-1$$

   По ОДЗ:
   $$\frac{x-1}{x+4}>0,\quad (x-1)(x+4)>0$$
   получаем $$x<-4 \text{ или } x>1.$$
   Значит, подходит только $$x=3.$$

3. $$\log_3 x^2-\log_3\frac{x}{x+6}=3$$

   $$\log_3\left(x^2:\frac{x}{x+6}\right)=3$$
   $$\log_3(x^2+6x)=3$$
   $$x^2+6x=3^3=27$$
   $$x^2+6x-27=0$$
   $$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-27)=144$$
   $$x=\frac{-6\pm 12}{2}$$
   $$x_1=3,\quad x_2=-9$$

   По ОДЗ:
   $$x^2>0,\quad \frac{x}{x+6}>0$$
   значит, $$x<-6 \text{ или } x>0.$$
   Подходит только $$x=3.$$

4. $$\log_2\frac{x+4}{x}+\log_2 x^2=5$$

   $$\log_2\left(\frac{x+4}{x}\cdot x^2\right)=5$$
   $$\log_2(x^2+4x)=5$$
   $$x^2+4x=2^5=32$$
   $$x^2+4x-32=0$$
   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-32)=144$$
   $$x=\frac{-4\pm 12}{2}$$
   $$x_1=4,\quad x_2=-8$$

   По ОДЗ:
   $$\frac{x+4}{x}>0,\quad x\ne 0$$
   значит, $$x<-4 \text{ или } x>0.$$
   Подходит только $$x=4.$$

Ответ

1) $$x=2\sqrt5$$; 2) $$x=3$$; 3) $$x=3$$; 4) $$x=4$$.