Упр.342 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить системы уравнений:

1. 1) $$\begin{cases} \lg x-\lg y=2,\\ x-10y-900=0; \end{cases}$$ 2) $$\begin{cases} \log_3 x+\log_3 y=2,\\ x^2y-2y+9=0. \end{cases}$$

1. $$\begin{cases}\lg x-\lg y=2,\\ x-10y=900.\end{cases}$$

   По свойству логарифмов:

   $$\lg \frac{x}{y}=2,$$

   откуда

   $$\frac{x}{y}=10^2=100,\quad x=100y.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$100y-10y=900,$$

   $$90y=900,$$

   $$y=10.$$

   Тогда

   $$x=100\cdot 10=1000.$$

   Ответ: $$(1000;\,10).$$

2. $$\begin{cases}\log_3 x+\log_3 y=2,\\ x^2y-2y+9=0.\end{cases}$$

   По свойству логарифмов:

   $$\log_3(xy)=2,$$

   значит

   $$xy=3^2=9,\quad y=\frac{9}{x}.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$x^2\cdot \frac{9}{x}-2\cdot \frac{9}{x}+9=0,$$

   $$9x-\frac{18}{x}+9=0.$$

   Умножим на $$x$$:

   $$9x^2+9x-18=0,$$

   $$x^2+x-2=0,$$

   $$\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0.$$

   С учётом области определения $$x>0,\ y>0$$ получаем $$x=1.$$ Тогда

   $$y=\frac{9}{1}=9.$$

   Ответ: $$(1;\,9).$$