Упр.341 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) log1/3(x)log1/3(3x — 2) = log1/3(3x — 2);
3) log2 (3x + 1) log3(x) = 2log3(3x+1);
4) log корень 3(x — 2) log5(x)= 2log3(x — 2)

1. $$\log_7(x-1)\cdot \log_7 x=\log_7 x$$

   Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

   $$\log_7 x\bigl(\log_7(x-1)-1\bigr)=0$$

   Отсюда:

   $$\log_7 x=0 \quad \text{или} \quad \log_7(x-1)=1$$

   1) $$\log_7 x=0 \Rightarrow x=1$$

   Но при $$x=1$$ логарифм $$\log_7(x-1)$$ не имеет смысла, так как $$x-1=0$$.

   2) $$\log_7(x-1)=1 \Rightarrow x-1=7 \Rightarrow x=8$$

   Проверка области определения: $$x>1$$, значит $$x=8$$ подходит.

2. $$\log_{\frac13}x\cdot \log_{\frac13}(3x-2)=\log_{\frac13}(3x-2)$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\log_{\frac13}(3x-2)\bigl(\log_{\frac13}x-1\bigr)=0$$

   Отсюда:

   $$\log_{\frac13}(3x-2)=0 \quad \text{или} \quad \log_{\frac13}x=1$$

   1) $$\log_{\frac13}(3x-2)=0 \Rightarrow 3x-2=1 \Rightarrow x=1$$

   2) $$\log_{\frac13}x=1 \Rightarrow x=\frac13$$

   Область определения: $$x>0$$ и $$3x-2>0$$, то есть $$x>\frac23$$. Поэтому $$x=\frac13$$ не подходит.

3. $$\log_2(3x+1)\cdot \log_3 x=2\log_2(3x+1)$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\log_2(3x+1)\bigl(\log_3 x-2\bigr)=0$$

   Отсюда:

   $$\log_2(3x+1)=0 \quad \text{или} \quad \log_3 x=2$$

   1) $$\log_2(3x+1)=0 \Rightarrow 3x+1=1 \Rightarrow x=0$$

   2) $$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9$$

   Область определения: $$x>0$$ и $$3x+1>0$$, значит $$x=0$$ не подходит.

4. $$\log_{\sqrt3}(x-2)\cdot \log_5 x=2\log_3(x-2)$$

   Так как $$\sqrt3=3^{1/2}$$, то

   $$\log_{\sqrt3}(x-2)=2\log_3(x-2)$$

   Тогда уравнение принимает вид:

   $$2\log_3(x-2)\cdot \log_5 x=2\log_3(x-2)$$

   Вынесем общий множитель:

   $$2\log_3(x-2)\bigl(\log_5 x-1\bigr)=0$$

   Отсюда:

   $$\log_3(x-2)=0 \quad \text{или} \quad \log_5 x=1$$

   1) $$\log_3(x-2)=0 \Rightarrow x-2=1 \Rightarrow x=3$$

   2) $$\log_5 x=1 \Rightarrow x=5$$

   Область определения: $$x>2$$, оба значения подходят.

Ответ

1) $$x=8$$; 2) $$x=1$$; 3) $$x=9$$; 4) $$x=3,\;5$$.