Упр.339 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{1}{2}\lg(x^2+x-5)=\lg(5x)+\lg\frac{1}{5x}$$
2. $$\frac{1}{2}\lg(x^2-4x-1)=\lg(8x)-\lg(4x)$$

1) $$\frac12\lg(x^2+x-5)=\lg(5x)+\lg\frac1{5x}$$

Используем свойства логарифмов:

$$\lg\sqrt{x^2+x-5}=\lg\left(5x\cdot\frac1{5x}\right)=\lg 1.$$

Тогда

$$\sqrt{x^2+x-5}=1,$$

$$x^2+x-5=1,$$

$$x^2+x-6=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1-4\cdot1\cdot(-6)=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm5}{2},$$

$$x_1=2,\quad x_2=-3.$$

Проверим область допустимых значений: $$5x>0,$$ значит $$x>0.$$

Подходит только $$x=2.$$

2) $$\frac12\lg(x^2-4x-1)=\lg(8x)-\lg(4x)$$

Преобразуем правую часть:

$$\lg(8x)-\lg(4x)=\lg\frac{8x}{4x}=\lg 2.$$

Тогда

$$\lg\sqrt{x^2-4x-1}=\lg 2,$$

$$\sqrt{x^2-4x-1}=2,$$

$$x^2-4x-1=4,$$

$$x^2-4x-5=0.$$

Решаем уравнение:

$$D=16+20=36,$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm6}{2},$$

$$x_1=5,\quad x_2=-1.$$

Проверим область допустимых значений: $$8x>0$$ и $$4x>0,$$ значит $$x>0.$$

Подходит только $$x=5.$$

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=5$$.