Упр.336 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) х — 3 = 0 и х2 — 5х + 6 = 0;
2) |х| = 5 и корень x2 — 5;
3) (x2-3x+2)/(x-1) = 0 и x2-3x+2=0;
4) log8(х) + log8(х — 2) = 1 и log8 (х (х — 2)) = 1.

Подробный ответ

$$x-3=0$$ имеет корень $$x=3$$.
$$x^2-5x+6=0$$
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0,$$
откуда $$x=2$$ или $$x=3$$.
Следовательно, второе уравнение содержит все корни первого, значит оно является его следствием.
$$|x|=5$$ и $$\sqrt{x^2}=5$$.
Так как $$\sqrt{x^2}=|x|,$$ то оба уравнения равносильны.
Следовательно, каждое из них является следствием другого.
$$\frac{x^2-3x+2}{x-1}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2-3x+2=0,\quad x-1\ne 0.$$
Решим числитель:
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0,$$
откуда $$x=1$$ или $$x=2$$.
Но $$x=1$$ не подходит из-за знаменателя, значит решение первого уравнения: $$x=2$$.
У второго уравнения $$x^2-3x+2=0$$ корни $$x=1$$ и $$x=2$$.
Следовательно, второе уравнение является следствием первого.
$$\log_8 x+\log_8(x-2)=1$$ и $$\log_8(x(x-2))=1$$.
По свойству логарифмов:
$$\log_8 x+\log_8(x-2)=\log_8(x(x-2)).$$
Значит, первое уравнение можно преобразовать во второе при тех же условиях существования:
$$x>0,\quad x-2>0 \;\Rightarrow\; x>2.$$
Следовательно, второе уравнение является следствием первого.