Упр.336 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Установить, какое из данных двух уравнений является следствием другого уравнения:
- а) $$x-3=0$$ и $$x^2-5x+6=0$$;
б) $$|x|=5$$ и корень $$x^2$$ − 5;
в) $$\frac{x^2-3x+2}{x-1}=0$$ и $$x^2-3x+2=0$$;
г) $$\log_8 x+\log_8(x-2)=1$$ и $$\log_8\bigl(x(x-2)\bigr)=1$$.
1) $$x-3=0$$ и $$x^2-5x+6=0$$.
Решим первое уравнение:
$$x-3=0,\quad x=3.$$
Решим второе уравнение:
$$x^2-5x+6=0$$
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1,$$
$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad x_2=\frac{5+1}{2}=3.$$
Следовательно, второе уравнение является следствием первого.
2) $$|x|=5$$ и $$\sqrt{x^2}=5$$.
Так как $$\sqrt{x^2}=|x|,$$ то оба уравнения равносильны, значит каждое из них является следствием другого.
3) $$\frac{x^2-3x+2}{x-1}=0$$ и $$x^2-3x+2=0$$.
Решим первое уравнение:
$$\frac{x^2-3x+2}{x-1}=0,\quad x^2-3x+2=0,\quad x-1\ne 0.$$
Тогда
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0,$$
откуда $$x=1$$ или $$x=2.$$
Но $$x=1$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Значит, решение первого уравнения: $$x=2.$$
Решим второе уравнение:
$$x^2-3x+2=0,\quad (x-1)(x-2)=0,$$
откуда $$x=1$$ или $$x=2.$$
Следовательно, второе уравнение не является следствием первого, а первое является следствием второго.
4) $$\log_8 x+\log_8(x-2)=1$$ и $$\log_8(x(x-2))=1$$.
Область определения первого уравнения:
$$x>0,\quad x-2>0,\quad x>2.$$
По свойству логарифмов:
$$\log_8 x+\log_8(x-2)=\log_8(x(x-2)).$$
Значит, первое уравнение равносильно второму, а следовательно, каждое из них является следствием другого.
Ответ: 1) второе; 2) каждое из них; 3) первое; 4) каждое из них.
