Упр.334 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Построить график функции, найти её область определения и множество значений, указать промежутки монотонности:
- а) $$y=|\log_3 x|$$;
б) $$y=\log_3|x|$$;
в) $$y=\log_2|3-x|$$;
г) $$y=|1-\log_2 x|$$.
1) Рассмотрим функцию $$y=|\log_3 x|.$$
Так как логарифм определён только при $$x>0,$$ то
$$D(x)=(0;+\infty).$$
Значения логарифма могут быть любыми, а модуль делает их неотрицательными, значит
$$E(y)=[0;+\infty).$$
Функция $$y=\log_3 x$$ возрастает при $$x>0$$, поэтому после взятия модуля получаем:
$$y=|\log_3 x|=\begin{cases} -\log_3 x, & 0<x<1,\\ \log_3 x, & x\ge 1. \end{cases}$$
Следовательно, функция убывает на $$\left(0;1\right)$$ и возрастает на $$\left(1;+\infty\right).$$
2) Рассмотрим функцию $$y=\log_3|x|.$$
Для существования логарифма нужно, чтобы $$|x|>0,$$ то есть $$x\ne 0.$$ Поэтому
$$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Так как логарифм принимает любые действительные значения, то
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$y(-x)=\log_3|-x|=\log_3|x|=y(x).$$
На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция убывает, а на $$\left(0;+\infty\right)$$ возрастает.
3) Рассмотрим функцию $$y=\log_2|3-x|.$$
Для существования логарифма нужно, чтобы $$|3-x|>0,$$ то есть $$x\ne 3.$$ Следовательно,
$$D(x)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$
Множество значений логарифмической функции:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
При $$x<3$$ выражение $$|3-x|=3-x$$ убывает, а при $$x>3$$ выражение $$|3-x|=x-3$$ возрастает. Так как основание $$2>1,$$ то логарифмическая функция возрастает по своему аргументу. Поэтому
$$y$$ убывает на $$(-\infty;3)$$ и возрастает на $$\left(3;+\infty\right).$$
4) Рассмотрим функцию $$y=|1-\log_2 x|.$$
Область определения задаётся условием $$x>0,$$ значит
$$D(x)=(0;+\infty).$$
Так как модуль неотрицателен, то
$$E(y)=[0;+\infty).$$
Найдём, где выражение под модулем меняет знак:
$$1-\log_2 x=0 \;\Rightarrow\; \log_2 x=1 \;\Rightarrow\; x=2.$$
Тогда
$$y=|1-\log_2 x|=\begin{cases} 1-\log_2 x, & 0<x\le 2,\\ \log_2 x-1, & x\ge 2. \end{cases}$$
На $$\left(0;2\right)$$ функция убывает, а на $$\left(2;+\infty\right)$$ возрастает.
Ответ
1) $$D(x)=(0;+\infty),\ E(y)=[0;+\infty),$$ убывает на $$\left(0;1\right)$$, возрастает на $$\left(1;+\infty\right).$$
2) $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0)$$, возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$
3) $$D(x)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;3)$$, возрастает на $$\left(3;+\infty\right).$$
4) $$D(x)=(0;+\infty),\ E(y)=[0;+\infty),$$ убывает на $$\left(0;2\right)$$, возрастает на $$\left(2;+\infty\right).$$
