Упр.331 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти область определения функции:

1. 1) $$y=\log_{8}(x^2-3x-4)$$;
   2) $$y=\log_{\sqrt{3}}(-x^2+5x+6)$$;
   3) $$y=\log_{0,7}\left(\frac{x^2-9}{x+5}\right)$$;
   4) $$y=\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x-4}{x^2+4}\right)$$;
   5) $$y=\log_{\pi}(2x-2)$$;
   6) $$y=\log_{3}\left(3^{x-1}-9\right)$$.

Для логарифмической функции область определения задаётся условием: подлогарифмическое выражение должно быть положительным.

1. $$x^2-3x-4>0$$

   $$\left(x+1\right)\left(x-4\right)>0$$

   Отсюда $$x<-1$$ или $$x>4$$.

2. $$-x^2+5x+6>0$$

   $$x^2-5x-6<0$$

   $$\left(x+1\right)\left(x-6\right)<0$$

   Отсюда $$-1<x<6$$.

3. $$\frac{x^2-9}{x+5}>0$$

   $$\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x+5}>0$$

   Критические точки: $$x=-5,\,-3,\,3$$.

   Знак дроби положителен при $$-5<x<-3$$ и $$x>3$$.

4. $$\frac{x-4}{x^2+4}>0$$

   Так как $$x^2+4>0$$ при любом $$x$$, то нужно лишь

   $$x-4>0$$.

   Следовательно, $$x>4$$.

5. $$2^x-2>0$$

   $$2^x>2$$

   $$2^x>2^1$$

   Так как основание $$2>1$$, получаем $$x>1$$.

6. $$3^{x-1}-9>0$$

   $$3^{x-1}>9$$

   $$3^{x-1}>3^2$$

   Так как основание $$3>1$$, получаем $$x-1>2$$, то есть $$x>3$$.

Ответ:

1) $$x<-1$$ или $$x>4$$; 2) $$-1<x<6$$; 3) $$-5<x<-3$$ или $$x>3$$; 4) $$x>4$$; 5) $$x>1$$; 6) $$x>3$$.