Упр.330 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Сравнить значения выражений:
- 1) $$\frac{1}{2}+\lg 3$$ и $$\lg 19-\lg 2$$;
2) $$\frac{\lg 5+\lg\sqrt{7}}{2}$$ и $$\lg^{\frac{5+\sqrt{7}}{2}}$$;
3) $$3(\lg 7-\lg 5)$$ и $$\lg 9-\frac{2}{3}\lg 8$$;
4) $$\lg\lg\lg 50$$ и $$\lg^3(50)$$.
1) $$\frac12+\lg 3=\lg 10^{1/2}+\lg 3=\lg(3\sqrt{10})=\lg\sqrt{90},$$
$$\lg 19-\lg 2=\lg\frac{19}{2}=\lg 9{,}5.$$
Так как $$\sqrt{90}\approx 9{,}49<9{,}5,$$ то
$$\frac12+\lg 3<\lg 19-\lg 2.$$
2) $$\frac{\lg 5+\lg\sqrt7}{2}=\frac{\lg(5\sqrt7)}{2}=\lg\sqrt{5\sqrt7},$$
$$\lg\frac{5+\sqrt7}{2}.$$
Сравним числа под логарифмами:
$$\sqrt{5\sqrt7}\approx 3{,}07,\qquad \frac{5+\sqrt7}{2}\approx 3{,}82,$$
значит
$$\frac{\lg 5+\lg\sqrt7}{2}<\lg\frac{5+\sqrt7}{2}.$$
3) $$3(\lg 7-\lg 5)=3\lg\frac75=\lg\left(\frac75\right)^3=\lg\frac{343}{125},$$
$$\lg 9-\frac23\lg 8=\lg 9-\lg 8^{2/3}=\lg\frac{9}{4}.$$
Сравним дроби:
$$\frac{343}{125}=2{,}744,\qquad \frac94=2{,}25,$$
поэтому
$$3(\lg 7-\lg 5)>\lg 9-\frac23\lg 8.$$
4) $$\lg\lg\lg 50 \text{ и } \lg^3 50.$$
Так как $$10<50<100,$$ то
$$1<\lg 50<2.$$
Следовательно,
$$0<\lg\lg 50<1,$$
а значит
$$\lg\lg\lg 50<0.$$
С другой стороны, из $$1<\lg 50<2$$ получаем
$$1<\lg^3 50<8.$$
Итак,
$$\lg\lg\lg 50<\lg^3 50.$$
Ответ
1) $$\frac12+\lg 3<\lg 19-\lg 2$$; 2) $$\frac{\lg 5+\lg\sqrt7}{2}<\lg\frac{5+\sqrt7}{2}$$; 3) $$3(\lg 7-\lg 5)>\lg 9-\frac23\lg 8$$; 4) $$\lg\lg\lg 50<\lg^3 50$$.
