Упр.330 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1)1/2 + lg3 и lg19 — lg2;
2) (lg5 + lg корень 7)/2 и lg^((5+ корень 7)/2);
3) 3(lg7 — lg5) и lg9 — 2/3lg8;
4) lglglg50 и lg^3(50).

1. $$\frac12+\lg 3=\lg 10^{1/2}+\lg 3=\lg(3\sqrt{10})=\lg\sqrt{90}.$$
   
   $$\lg 19-\lg 2=\lg\frac{19}{2}=\lg 9{,}5.$$
   
   Так как $$\sqrt{90}\approx 9{,}49<9{,}5,$$ то $$\lg\sqrt{90}<\lg 9{,}5.$$

2. $$\frac{\lg 5+\lg\sqrt7}{2}=\frac12\lg(5\sqrt7)=\lg\sqrt{5\sqrt7}.$$
   
   $$\lg\frac{5+\sqrt7}{2}=\lg\frac{5+\sqrt7}{2}.$$
   
   Сравним числа под логарифмами:
   $$\sqrt{5\sqrt7}\ ?\ \frac{5+\sqrt7}{2}.$$
   Возведём в квадрат:
   $$5\sqrt7\ ?\ \frac{(5+\sqrt7)^2}{4}=\frac{32+10\sqrt7}{4}.$$
   Тогда
   $$20\sqrt7\ ?\ 32+10\sqrt7,$$
   $$10\sqrt7\ ?\ 32,$$
   $$100\cdot 7\ ?\ 1024,$$
   что неверно, значит
   $$5\sqrt7<\frac{(5+\sqrt7)^2}{4}.$$ Следовательно, $$\sqrt{5\sqrt7}<\frac{5+\sqrt7}{2},$$ а значит $$\frac{\lg 5+\lg\sqrt7}{2}<\lg\frac{5+\sqrt7}{2}.$$

3. $$3(\lg 7-\lg 5)=3\lg\frac75=\lg\left(\frac75\right)^3=\lg\frac{343}{125}=\lg\frac{1372}{500}.$$
   
   $$\lg 9-\frac23\lg 8=\lg 9-\lg 8^{2/3}=\lg\frac{9}{8^{2/3}}=\lg\frac94=\lg\frac{1125}{500}.$$
   
   Так как
   $$\frac{1372}{500}>\frac{1125}{500},$$
   то
   $$3(\lg 7-\lg 5)>\lg 9-\frac23\lg 8.$$

4. $$\lg 50=\lg(5\cdot 10)=\lg 5+1.$$
   
   Так как $$10<50<100,$$ то $$1<\lg 50<2.$$ Тогда $$0<\lg\lg 50<1,$$ а значит $$\lg\lg\lg 50<0.$$ С другой стороны, $$1<\lg 50<2 \Rightarrow 1<\lg^3 50<8.$$ Следовательно, $$\lg\lg\lg 50<\lg^3 50.$$

Ответ

1) $$\frac12+\lg 3<\lg 19-\lg 2$$
2) $$\frac{\lg 5+\lg\sqrt7}{2}<\lg\frac{5+\sqrt7}{2}$$
3) $$3(\lg 7-\lg 5)>\lg 9-\frac23\lg 8$$
4) $$\lg\lg\lg 50<\lg^3 50$$