Упр.329 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что функция $$y=\log_2(x^2-1)$$ возрастает на промежутке $$(1;+\infty)$$.

Рассмотрим функцию $$y=\log_2(x^2-1).$$

Найдём область определения:

$$x^2-1>0$$

$$(x-1)(x+1)>0$$

Отсюда $$x<-1$$ или $$x>1.$$

На промежутке $$(1;+\infty)$$ имеем $$x^2-1>0$$, причём функция $$x^2-1$$ возрастает при $$x>1$$.

Так как основание логарифма $$2>1$$, то логарифмическая функция $$y=\log_2 t$$ возрастает по своему аргументу. Следовательно, при возрастании $$x$$ на промежутке $$(1;+\infty)$$ возрастает и $$\log_2(x^2-1).$$

Значит, функция $$y=\log_2(x^2-1)$$ возрастает на промежутке $$(1;+\infty).$$

Ответ

Функция $$y=\log_2(x^2-1)$$ возрастает на $$(1;+\infty).$$