Упр.325 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

325. Решить неравенство:
     1) $$\log_5(x)>\log_5(3)$$;
     2) $$\log_{\frac{1}{5}}(x)\leq\log_{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{8}\right)$$;
     3) $$\lg x<\lg 4$$;
     4) $$\ln x>\ln 0{,}5$$.

1) Так как $$5>1,$$ логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:

$$\log_5 x>\log_5 3 \;\Rightarrow\; x>3.$$

Ответ: $$x>3.$$

2) Так как $$\frac15<1,$$ логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства меняется:

$$\log_{\frac15} x\le \log_{\frac15}\frac18 \;\Rightarrow\; x\ge \frac18.$$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем:

$$x\ge \frac18.$$

Ответ: $$x\ge \frac18.$$

3) Так как $$10>1,$$ логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:

$$\lg x<\lg 4 \;\Rightarrow\; x<4.$$

С учётом области определения $$x>0$$ имеем:

$$0<x<4.$$

Ответ: $$0<x<4.$$

4) Так как $$e>1,$$ логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:

$$\ln x>\ln 0{,}5 \;\Rightarrow\; x>0{,}5.$$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем:

$$x>0{,}5.$$

Ответ: $$x>0{,}5.$$