Упр.324 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Изобразить схематически график функции:
- 1) $$y=\lg x$$; 2) $$y=\ln x$$; 3) $$y=\log_{0,4}(x)$$; 4) $$y=\log_{\frac{1}{5}}(x)$$.
Для логарифмической функции $$y=\log_a x$$ выполняются свойства:
- область определения: $$x>0$$;
- множество значений: $$y\in \mathbb{R}$$;
- график проходит через точку $$\left(1;0\right)$$;
- если $$a>1$$, функция возрастает;
- если $$0<a<1$$, функция убывает.
$$y=\lg x=\log_{10}x$$
Так как $$10>1$$, функция возрастает. Для построения удобно отметить точки:
$$\left(1;0\right),\ \left(10;1\right),\ \left(0{,}1;-1\right).$$
График имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$ и возрастает на $$x>0$$.
$$y=\ln x=\log_e x$$
Так как $$e>1$$, функция возрастает. График проходит через точки:
$$\left(1;0\right),\ \left(e;1\right),\ \left(\frac{1}{e};-1\right).$$
Вертикальная асимптота: $$x=0$$.
$$y=\log_{0{,}4}x$$
Так как $$0<0{,}4<1$$, функция убывает. Удобные точки:
$$\left(1;0\right),\ \left(0{,}4;1\right),\ \left(\frac{1}{0{,}4};-1\right)=\left(2{,}5;-1\right).$$
Вертикальная асимптота: $$x=0$$.
$$y=\log_{\frac15}x$$
Так как $$0<\frac15<1$$, функция убывает. Удобные точки:
$$\left(1;0\right),\ \left(\frac15;1\right),\ \left(5;-1\right).$$
Вертикальная асимптота: $$x=0$$.
Во всех четырёх случаях график логарифмической функции расположен только при $$x>0$$, проходит через точку $$\left(1;0\right)$$ и имеет асимптоту $$x=0$$; при основании больше 1 он возрастает, а при основании от 0 до 1 — убывает.
