Упр.318 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Сравнить числа:
   
   1) $$\log_{3}\frac{6}{5}$$ и $$\log_{3}\frac{5}{6}$$;
   
   1) $$\log_{\frac{1}{3}}9$$ и $$\log_{\frac{1}{3}}17$$;
   
   1) $$\log_{\frac{1}{2}}e$$ и $$\log_{\frac{1}{2}}\pi$$;
   
   1) $$\log_{2}\sqrt{\frac{5}{2}}$$ и $$\log_{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$$.

1) Так как $$3>1,$$ функция $$y=\log_3 x$$ возрастает. Сравним аргументы:

$$\frac{6}{5}=\frac{36}{30}, \qquad \frac{5}{6}=\frac{25}{30}, \qquad \frac{36}{30}>\frac{25}{30}.$$

Значит,

$$\log_3 \frac{6}{5} > \log_3 \frac{5}{6}.$$

2) Так как $$0<\frac13<1,$$ функция $$y=\log_{\frac13} x$$ убывает. Поскольку $$9<17,$$ получаем

$$\log_{\frac13} 9 > \log_{\frac13} 17.$$

3) Так как $$0<\frac12<1,$$ функция $$y=\log_{\frac12} x$$ убывает. А так как $$e\approx 2{,}72,\ \pi\approx 3{,}14,$$ то $$e<\pi.$$ Следовательно,

$$\log_{\frac12} e > \log_{\frac12} \pi.$$

4) Так как $$2>1,$$ функция $$y=\log_2 x$$ возрастает. Сравним аргументы:

$$\frac{\sqrt5}{2} > \frac{\sqrt3}{2},$$

потому что $$\sqrt5>\sqrt3.$$ Значит,

$$\log_2 \frac{\sqrt5}{2} > \log_2 \frac{\sqrt3}{2}.$$

Ответ

$$\log_3 \frac{6}{5} > \log_3 \frac{5}{6}; \quad \log_{\frac13} 9 > \log_{\frac13} 17; \quad \log_{\frac12} e > \log_{\frac12} \pi; \quad \log_2 \frac{\sqrt5}{2} > \log_2 \frac{\sqrt3}{2}.$$