Упр.314 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 314 Вычислить (не используя микрокалькулятор):

1. $$\frac{\log_5 2}{\log_5 6}+\frac{\log_4 3}{\log_4 6}$$

   По формуле перехода к новому основанию:
   $$\frac{\log_5 2}{\log_5 6}=\log_6 2,\qquad \frac{\log_4 3}{\log_4 6}=\log_6 3.$$
   Тогда
   $$\log_6 2+\log_6 3=\log_6(2\cdot 3)=\log_6 6=1.$$

2. $$(\log_7 2+\frac{1}{\log_5 7})\lg 7$$

   Используем тождество
   $$\frac{1}{\log_5 7}=\log_7 5.$$
   Тогда
   $$(\log_7 2+\log_7 5)\lg 7=\log_7(2\cdot 5)\lg 7=\log_7 10\cdot \lg 7.$$
   Так как
   $$\lg 7=\log_{10} 7=\frac{1}{\log_7 10},$$
   получаем
   $$\log_7 10\cdot \frac{1}{\log_7 10}=1.$$

3. $$\frac{\log_2 3}{\log_4 9}$$

   Перейдём к основанию $2$:
   $$\log_4 9=\frac{\log_2 9}{\log_2 4}=\frac{\log_2 9}{2}.$$
   Тогда
   $$\frac{\log_2 3}{\log_4 9}=\frac{\log_2 3}{\frac{\log_2 9}{2}}=\frac{2\log_2 3}{\log_2 9}.$$
   Так как
   $$\log_2 9=\log_2 3^2=2\log_2 3,$$
   то
   $$\frac{2\log_2 3}{\log_2 9}=1.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$1$$; 3) $$1$$.