Упр.313 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение:
   
   1) $$\log_2^2(x)-9\log_8(x)=4$$;
   
   2) $$16\log_{16}^2(x)+3\log_4(x)-1=0$$;
   
   3) $$\log_3^2(x)+5\log_9(x)-1{,}5=4$$;
   
   4) $$\log_3^2(x)-15\log_{27}(x)+6=0$$.

1) $$\log_2^2 x-9\log_8 x=4$$

Так как $$\log_8 x=\dfrac{1}{3}\log_2 x,$$ получаем:

$$\log_2^2 x-3\log_2 x-4=0.$$

Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда

$$y^2-3y-4=0.$$

$$D=3^2+4\cdot 4=25,$$

$$y_1=\dfrac{3-5}{2}=-1,\qquad y_2=\dfrac{3+5}{2}=4.$$

Тогда

$$\log_2 x=-1 \Rightarrow x=2^{-1}=\dfrac12,$$

$$\log_2 x=4 \Rightarrow x=2^4=16.$$

2) $$16\log_{16}^2 x+3\log_4 x-1=0$$

Так как $$\log_{16} x=\dfrac12\log_4 x,$$ то

$$16\left(\dfrac12\log_4 x\right)^2+3\log_4 x-1=0,$$

$$4\log_4^2 x+3\log_4 x-1=0.$$

Пусть $$y=\log_4 x.$$ Тогда

$$4y^2+3y-1=0.$$

$$D=3^2-4\cdot 4\cdot(-1)=25,$$

$$y_1=\dfrac{-3-5}{8}=-1,\qquad y_2=\dfrac{-3+5}{8}=\dfrac14.$$

Тогда

$$\log_4 x=-1 \Rightarrow x=4^{-1}=\dfrac14,$$

$$\log_4 x=\dfrac14 \Rightarrow x=4^{1/4}=\sqrt2.$$

3) $$\log_3^2 x+5\log_9 x-1{,}5=4$$

Перенесём число $$4$$ в левую часть и выразим $$\log_9 x$$ через $$\log_3 x$$:

$$\log_3^2 x+5\log_9 x-5{,}5=0,$$

$$\log_9 x=\dfrac12\log_3 x.$$

Тогда

$$\log_3^2 x+\dfrac52\log_3 x-5{,}5=0.$$

Пусть $$y=\log_3 x.$$ Получаем

$$2y^2+5y-11=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-11)=113,$$

$$y_{1,2}=\dfrac{-5\pm\sqrt{113}}{4}.$$

Следовательно,

$$x=3^{\frac{-5-\sqrt{113}}{4}},\qquad x=3^{\frac{-5+\sqrt{113}}{4}}.$$

4) $$\log_3^2 x-15\log_{27} x+6=0$$

Так как $$\log_{27} x=\dfrac13\log_3 x,$$ то

$$\log_3^2 x-5\log_3 x+6=0.$$

Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда

$$y^2-5y+6=0,$$

$$(y-2)(y-3)=0,$$

откуда $$y_1=2,\; y_2=3.$$

Следовательно,

$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9,$$

$$\log_3 x=3 \Rightarrow x=27.$$

Ответ

1) $$x=\dfrac12,\;16$$; 2) $$x=\dfrac14,\;\sqrt2$$; 3) $$x=3^{\frac{-5-\sqrt{113}}{4}},\;3^{\frac{-5+\sqrt{113}}{4}}$$; 4) $$x=9,\;27$$.