Упр.307 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение:
   1) $$\log_5(x)=2\log_5(3)+4\log_{25}(2);$$
   2) $$\log_2(x)-2\log_{\frac{1}{2}}(x)=9;$$
   3) $$\log_3(x)=9\log_{27}(8)-3\log_3(4);$$
   4) $$\log_9(x^2)+\log_{\sqrt{3}}(x)=3;$$
   5) $$\log_2(x)+\log_8(x)=8;$$
   6) $$\log_4(x)-\log_{16}(x)=\frac{1}{4}.$$

1) $$\log_5 x=2\log_5 3+4\log_{25}2$$

$$\log_5 x=\log_5 3^2+2\log_{5^2}2^2$$

$$\log_5 x=\log_5 9+\log_5 4$$

$$\log_5 x=\log_5(9\cdot 4)=\log_5 36$$

$$x=36$$

2) $$\log_2 x-2\log_{\frac12}x=9$$

$$\log_{\frac12}x=\log_{2^{-1}}x=-\log_2 x$$

Тогда

$$\log_2 x-2(-\log_2 x)=9$$

$$3\log_2 x=9$$

$$\log_2 x=3$$

$$x=2^3=8$$

3) $$\log_3 x=9\log_{27}8-3\log_3 4$$

$$\log_{27}8=\log_{3^3}2^3=\frac13\log_3 8$$

Тогда

$$\log_3 x=9\cdot \frac13\log_3 8-3\log_3 4$$

$$\log_3 x=3\log_3 8-\log_3 4^3$$

$$\log_3 x=\log_3 8^3-\log_3 64=\log_3\frac{512}{64}=\log_3 8$$

$$x=8$$

4) $$\log_9(x^2)+\log_{\sqrt3}x=3$$

$$\log_9(x^2)=\log_{3^2}(x^2)=\frac12\log_3(x^2)=\log_3 x$$

$$\log_{\sqrt3}x=\log_{3^{1/2}}x=2\log_3 x$$

Тогда

$$\log_3 x+2\log_3 x=3$$

$$3\log_3 x=3$$

$$\log_3 x=1$$

$$x=3$$

5) $$\log_2 x+\log_8 x=8$$

$$\log_8 x=\log_{2^3}x=\frac13\log_2 x$$

Тогда

$$\log_2 x+\frac13\log_2 x=8$$

$$\frac43\log_2 x=8$$

$$\log_2 x=6$$

$$x=2^6=64$$

6) $$\log_4 x-\log_{16}x=\frac14$$

$$\log_{16}x=\log_{4^2}x=\frac12\log_4 x$$

Тогда

$$\log_4 x-\frac12\log_4 x=\frac14$$

$$\frac12\log_4 x=\frac14$$

$$\log_4 x=\frac12$$

$$x=4^{1/2}=2$$

Ответ

1) $$36$$; 2) $$8$$; 3) $$8$$; 4) $$3$$; 5) $$64$$; 6) $$2$$.