Упр.300 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Выразить через $$a$$ и $$b$$:
   1) $$\log_{\sqrt{3}} 50$$, если $$\log_3 15=a$$, $$\log_3 10=b$$;
   2) $$\log_4 1250$$, если $$\log_2 5=a$$.

1) $$\log_{\sqrt{3}} 50=\log_{3^{1/2}}50=\frac{1}{1/2}\log_3 50=2\log_3 50.$$

Тогда

$$2\log_3 50=2\log_3(5\cdot 10)=2(\log_3 5+\log_3 10).$$

Так как $$\log_3 15=a$$ и $$\log_3 10=b,$$ то

$$\log_3 15=\log_3(3\cdot 5)=1+\log_3 5=a,$$

откуда $$\log_3 5=a-1.$$

Следовательно,

$$\log_{\sqrt{3}} 50=2\bigl((a-1)+b\bigr)=2(a+b-1).$$

2) $$\log_4 1250=\log_{2^2}1250=\frac{1}{2}\log_2 1250=\frac{1}{2}\log_2(5^4\cdot 2).$$

Тогда

$$\log_4 1250=\frac{1}{2}\bigl(\log_2 5^4+\log_2 2\bigr)=\frac{1}{2}(4\log_2 5+1).$$

Так как $$\log_2 5=a,$$ получаем

$$\log_4 1250=\frac{1}{2}(4a+1)=2a+\frac{1}{2}.$$

Ответ

1) $$2(a+b-1);$$ 2) $$2a+\frac{1}{2}.$$