Упр.299 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что если $$a>0$$, $$a\ne1$$, $$b>0$$, $$p\ne0$$, то $$\log_{a^p}(b)=\frac{1}{p}\log_a(b)$$.

Используя эту формулу, вычислить:

1. $$\log_{3^6}(2)-\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{6}}(3)$$;
2. $$2\log_{3^5}(30)+\log_{0,2}(6)$$.

Пусть $$x=\log_{a^p} b.$$ Тогда по определению логарифма

$$a^{px}=b.$$

Возведём обе части в степень $$\frac{1}{p}$$:

$$a^x=b^{\frac{1}{p}}.$$

Снова применим определение логарифма:

$$x=\frac{1}{p}\log_a b.$$

Значит,

$$\log_{a^p} b=\frac{1}{p}\log_a b.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\log_{36}2-\frac12\log_{\frac16}3=\log_{6^2}2-\frac12\log_{6^{-1}}3=\frac12\log_6 2+\frac12\log_6 3=\frac12\log_6 6=\frac12,$$
$$2\log_{25}30+\log_{0{,}2}6=2\log_{5^2}30+\log_{5^{-1}}6=\frac{2}{2}\log_5 30-\log_5 6=\log_5\frac{30}{6}=\log_5 5=1.$$