Упр.297 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти $$x$$ по данному его логарифму ($$a>0,\ b>0$$):

1. $$\log_3 x=4\log_3 a+7\log_3 b$$;
2. $$\log_5 x=2\log_5 a-3\log_5 b$$;
3. $$\log_{\frac{1}{2}} x=\frac{2}{3}\log_{\frac{1}{2}} a-\frac{1}{5}\log_{\frac{1}{2}} b$$;
4. $$\log_{\frac{2}{3}} x=\frac{1}{4}\log_{\frac{2}{3}} a+\frac{4}{7}\log_{\frac{2}{3}} b$$.

Используем свойства логарифмов:

$$k\log_c u=\log_c u^k,$$

$$\log_c u+\log_c v=\log_c(uv),$$

$$\log_c u-\log_c v=\log_c\frac{u}{v}.$$

1. $$\log_3 x=4\log_3 a+7\log_3 b$$

   $$\log_3 x=\log_3 a^4+\log_3 b^7=\log_3(a^4b^7)$$

   Следовательно, $$x=a^4b^7.$$

2. $$\log_5 x=2\log_5 a-3\log_5 b$$

   $$\log_5 x=\log_5 a^2-\log_5 b^3=\log_5\frac{a^2}{b^3}$$

   Следовательно, $$x=\frac{a^2}{b^3}.$$

3. $$\log_{\frac12} x=\frac23\log_{\frac12} a-\frac15\log_{\frac12} b$$

   $$\log_{\frac12} x=\log_{\frac12} a^{\frac23}-\log_{\frac12} b^{\frac15}=\log_{\frac12}\frac{a^{\frac23}}{b^{\frac15}}$$

   Следовательно, $$x=\frac{a^{\frac23}}{b^{\frac15}}.$$

4. $$\log_{\frac23} x=\frac14\log_{\frac23} a+\frac47\log_{\frac23} b$$

   $$\log_{\frac23} x=\log_{\frac23} a^{\frac14}+\log_{\frac23} b^{\frac47}=\log_{\frac23}\left(a^{\frac14}b^{\frac47}\right)$$

   Следовательно, $$x=a^{\frac14}b^{\frac47}.$$

Ответ

1) $$x=a^4b^7$$; 2) $$x=\frac{a^2}{b^3}$$; 3) $$x=\frac{a^{\frac23}}{b^{\frac15}}$$; 4) $$x=a^{\frac14}b^{\frac47}$$.