Упр.289 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить относительно $$x$$ уравнение $$9x+9a(1-a)\cdot 3^{(x-2)}-a3$$.

Положим $$t=3^x.$$ Тогда исходное уравнение

$$9^x+9a(1-a)\cdot 3^{x-2}-a^3=0$$

преобразуется к виду

$$3^{2x}+a(1-a)3^x-a^3=0,$$

то есть

$$t^2+a(1-a)t-a^3=0.$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$t^2+a(1-a)t-a^3=(t-a^2)(t+a).$$

Тогда

$$t=a^2 \quad \text{или} \quad t=-a.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$3^x=a^2 \quad \text{или} \quad 3^x=-a.$$

Отсюда

$$x=\log_3 a^2 \quad \text{или} \quad x=\log_3(-a),$$

если соответствующие выражения имеют смысл.

1) Для $$3^x=a^2$$ нужно $$a^2>0$$, то есть $$a\ne 0$$.
2) Для $$3^x=-a$$ нужно $$-a>0$$, то есть $$a<0$$.

При $$a=-1$$ оба корня совпадают, так как $$a^2=-a=1$$.

Итак,

$$\begin{cases} a<0,\ a\ne -1: & x_1=\log_3 a^2,\ x_2=\log_3(-a),\\ a>0,\ a\ne 0: & x=\log_3 a^2,\\ a=-1: & x=0,\\ a=0: & \text{решений нет}. \end{cases}$$

Ответ

$$\begin{cases} a<0,\ a\ne -1: & x_1=\log_3 a^2,\ x_2=\log_3(-a),\\ a>0: & x=\log_3 a^2,\\ a=0: & \text{решений нет}. \end{cases}$$