Упр.288 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ имеет смысл выражение: 1) $$\log_x(2x-1)$$; 2) $$\log_{x-1}(x+1)$$?

Для логарифма $$\log_a b$$ необходимо, чтобы выполнялись условия: $$a>0,\quad a\ne 1,\quad b>0.$$

1. Рассмотрим выражение $$\log_x(2x-1).$$

   Тогда должны выполняться условия:

   $$x>0,\quad x\ne 1,\quad 2x-1>0.$$

   Из неравенства $$2x-1>0$$ получаем:

   $$x>\frac12.$$

   Совмещая все условия, имеем:

   $$\frac12<x<1 \quad \text{или} \quad x>1.$$

2. Рассмотрим выражение $$\log_{x-1}(x+1).$$

   Тогда должны выполняться условия:

   $$x-1>0,\quad x-1\ne 1,\quad x+1>0.$$

   Из них получаем:

   $$x>1,\quad x\ne 2,\quad x>-1.$$

   Совмещая условия, получаем:

   $$1<x<2 \quad \text{или} \quad x>2.$$

Ответ: 1) $$\frac12<x<1$$ или $$x>1$$; 2) $$1<x<2$$ или $$x>2$$.