Упр.286 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$7^{2x}+7^x-12=0$$
2. $$9^x-3^x-12=0$$
3. $$8^{x+1}-8^{2x-1}=30$$
4. $$\left(\frac{1}{9}\right)^x-5\left(\frac{1}{3}\right)^x+6=0$$

1) Сделаем замену $$7^x=t.$$ Тогда получаем:

$$t^2+t-12=0$$

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-12)=49$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}$$

$$t_1=3,\quad t_2=-4$$

Так как $$7^x>0,$$ значение $$t=-4$$ не подходит. Значит,

$$7^x=3$$

$$x=\log_7 3$$

2) Сделаем замену $$3^x=t.$$ Тогда:

$$t^2-t-12=0$$

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-12)=49$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}$$

$$t_1=4,\quad t_2=-3$$

Так как $$3^x>0,$$ значение $$t=-3$$ не подходит. Значит,

$$3^x=4$$

$$x=\log_3 4$$

3) Сделаем замену $$8^x=t.$$ Тогда:

$$8^{x+1}-8^{2x-1}=30$$

$$8t-\frac{t^2}{8}=30$$

$$t^2-64t+240=0$$

$$D=64^2-4\cdot 1\cdot 240=3136$$

$$t_{1,2}=\frac{64\pm 56}{2}$$

$$t_1=60,\quad t_2=4$$

Тогда

$$8^x=60 \quad \text{или} \quad 8^x=4$$

$$x=\log_8 60 \quad \text{или} \quad 8^x=4=2^2$$

$$2^{3x}=2^2,\quad 3x=2,\quad x=\frac{2}{3}$$

4) Сделаем замену $$\left(\frac13\right)^x=t.$$ Тогда:

$$t^2-5t+6=0$$

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 6=1$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}$$

$$t_1=3,\quad t_2=2$$

Значит,

$$\left(\frac13\right)^x=3 \quad \text{или} \quad \left(\frac13\right)^x=2$$

$$\left(\frac13\right)^x=\left(\frac13\right)^{-1},\quad x=-1$$

$$x=\log_{1/3}2$$

Ответ

1) $$x=\log_7 3$$; 2) $$x=\log_3 4$$; 3) $$x=\frac23,\ \log_8 60$$; 4) $$x=-1,\ \log_{1/3}2$$.