Упр.286 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) 9x-3x-12=0;
3) 8^(x+1) — 8^(2x-1) = 30;
4) (1/9)x — 5*(1/3)x + 6=0.

Подробный ответ

$$7^{2x}+7^x-12=0$$
Сделаем замену: $$t=7^x$$, тогда получаем
$$t^2+t-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$t_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\quad t_2=\frac{-1+7}{2}=3$$
Так как $$7^x>0$$, значение $$t=-4$$ не подходит. Тогда
$$7^x=3$$
$$x=\log_7 3$$
$$9^x-3^x-12=0$$
Так как $$9^x=3^{2x}$$, имеем
$$3^{2x}-3^x-12=0$$
Сделаем замену: $$t=3^x$$, тогда
$$t^2-t-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$t_1=\frac{1-7}{2}=-3,\quad t_2=\frac{1+7}{2}=4$$
Так как $$3^x>0$$, значение $$t=-3$$ не подходит. Тогда
$$3^x=4$$
$$x=\log_3 4$$
$$8^{x+1}-8^{2x-1}=30$$
Преобразуем:
$$8\cdot 8^x-\frac{8^{2x}}{8}=30$$
Умножим на $$8$$:
$$64\cdot 8^x-8^{2x}=240$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$8^{2x}-64\cdot 8^x+240=0$$
Сделаем замену: $$t=8^x$$, тогда
$$t^2-64t+240=0$$
$$D=64^2-4\cdot 240=3136$$
$$t_1=\frac{64-56}{2}=4,\quad t_2=\frac{64+56}{2}=60$$
Тогда
$$8^x=4 \quad \text{или} \quad 8^x=60$$
$$8=2^3,\quad 4=2^2$$
$$2^{3x}=2^2 \Rightarrow 3x=2 \Rightarrow x=\frac{2}{3}$$
А также
$$x=\log_8 60$$
$$\left(\frac{1}{9}\right)^x-5\left(\frac{1}{3}\right)^x+6=0$$
Так как $$\left(\frac{1}{9}\right)^x=\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}$$, получаем
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}-5\left(\frac{1}{3}\right)^x+6=0$$
Сделаем замену: $$t=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$, тогда
$$t^2-5t+6=0$$
$$D=25-24=1$$
$$t_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad t_2=\frac{5+1}{2}=3$$
Тогда
$$\left(\frac{1}{3}\right)^x=2 \quad \text{или} \quad \left(\frac{1}{3}\right)^x=3$$
Из второго уравнения:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^x=\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\Rightarrow x=-1$$
Из первого уравнения:
$$x=\log_{\frac13} 2$$