Упр.283 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

283. Выяснить, при каких значениях $$x$$ имеет смысл выражение:
     1) $$\log_6(49-x^2)$$;
     2) $$\log_7(x^2+x-6)$$;
     3) $$\log_{\frac{1}{5}}(x^2+2x+7)$$.

Для существования логарифма его аргумент должен быть положительным.

1. $$49-x^2>0$$

   $$x^2-49<0$$

   $$\left(x-7\right)\left(x+7\right)<0$$

   Отсюда

   $$-7<x<7$$

2. $$x^2+x-6>0$$

   $$x^2+x-6=\left(x+3\right)\left(x-2\right)$$

   Тогда

   $$\left(x+3\right)\left(x-2\right)>0$$

   Следовательно,

   $$x<-3 \text{ или } x>2$$

3. $$x^2+2x+7>0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot 7=4-28=-24<0$$

   Так как старший коэффициент положителен, то $$x^2+2x+7>0$$ при любом $$x$$.

Ответ: 1) $$-7<x<7$$; 2) $$x<-3 \text{ или } x>2$$; 3) при любом $$x$$.