Упр.278 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Выяснить, при каких значениях $$x$$ существует логарифм:

1. $$\log_{\frac{1}{2}}(4-x)$$;
2. $$\log_{0{,}2}(7-x)$$;
3. $$\log_{6}\left(\frac{1}{1-2x}\right)$$;
4. $$\log_{8}\left(\frac{5}{2x-1}\right)$$;
5. $$\log_{\frac{1}{4}}(-x^2)$$;
6. $$\log_{0{,}7}(-2x^3)$$.

Логарифм $$\log_a b$$ определён при $$a>0,\ a\ne 1,\ b>0.$$ Поэтому для каждого выражения достаточно потребовать положительность аргумента.

1. $$\log_{\frac12}(4-x)$$

   $$4-x>0$$

   $$x<4$$

2. $$\log_{0,2}(7-x)$$

   $$7-x>0$$

   $$x<7$$

3. $$\log_6\frac{1}{1-2x}$$

   $$\frac{1}{1-2x}>0$$

   Так как числитель $$1>0$$, то нужно, чтобы знаменатель был положительным:

   $$1-2x>0$$

   $$x<\frac12$$

4. $$\log_8\frac{5}{2x-1}$$

   $$\frac{5}{2x-1}>0$$

   Так как $$5>0$$, то требуется:

   $$2x-1>0$$

   $$x>\frac12$$

5. $$\log_{\frac14}(-x^2)$$

   $$-x^2>0$$

   Но $$x^2\ge 0$$, значит $$-x^2\le 0$$ при любом $$x$$.

   Следовательно, таких значений $$x$$ нет.

6. $$\log_{0,7}(-2x^3)$$

   $$-2x^3>0$$

   $$x^3<0$$

   $$x<0$$

Ответ: 1) $$x<4$$; 2) $$x<7$$; 3) $$x<\frac12$$; 4) $$x>\frac12$$; 5) решений нет; 6) $$x<0$$.