Упр.277 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение:
   1) $$\log_6 x=3$$;
   2) $$\log_5 x=4$$;
   3) $$\log_2(5-x)=3$$;
   4) $$\log_3(x+2)=3$$;
   5) $$\log_{\frac{1}{6}}(0{,}5x+x)=-1$$.

1) $$\log_6 x=3$$

По определению логарифма:

$$x=6^3=216$$

Ответ: $$216$$

2) $$\log_5 x=4$$

$$x=5^4=625$$

Ответ: $$625$$

3) $$\log_2(5-x)=3$$

Область определения: $$5-x>0$$, то есть $$x<5$$.

$$5-x=2^3=8$$

$$x=5-8=-3$$

Проверка ОДЗ: $$-3<5$$ — подходит.

Ответ: $$-3$$

4) $$\log_3(x+2)=3$$

Область определения: $$x+2>0$$, то есть $$x>-2$$.

$$x+2=3^3=27$$

$$x=27-2=25$$

Проверка ОДЗ: $$25>-2$$ — подходит.

Ответ: $$25$$

5) $$\log_{\frac16}(0{,}5x+x)=-1$$

Сначала упростим выражение под логарифмом:

$$0{,}5x+x=1{,}5x=\frac32x$$

По определению логарифма:

$$\frac32x=\left(\frac16\right)^{-1}=6$$

$$x=6\cdot\frac23=4$$

Проверка ОДЗ: $$\frac32x>0$$, значит $$x>0$$; найденное значение подходит.

Ответ: $$4$$