Упр.265 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. $$3^{|x-2|}<9$$
2. $$4^{|x+1|}>16$$
3. $$2^{|x-2|}>4^{|x+1|}$$
4. $$5^{|x+4|}<25^{|x|}$$

1) $$3^{|x-2|}<9$$

$$9=3^2,$$ поэтому

$$|x-2|<2.$$

Тогда

$$-2<x-2<2,$$

$$0<x<4.$$

Ответ: $$x\in(0;4).$$

2) $$4^{|x+1|}>16$$

$$16=4^2,$$ значит

$$|x+1|>2.$$

Следовательно,

$$x+1>2 \quad \text{или} \quad x+1<-2,$$

$$x>1 \quad \text{или} \quad x<-3.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$$

3) $$2^{|x-2|}>4^{|x+1|}$$

$$4^{|x+1|}=2^{2|x+1|},$$ поэтому

$$2^{|x-2|}>2^{2|x+1|}.$$

Так как основание больше $$1$$, получаем

$$|x-2|>2|x+1|.$$

Рассмотрим случаи.

Если $$x\ge 2,$$ то

$$x-2>2(x+1),$$

$$x<-4,$$

что невозможно.

Если $$-1<x<2,$$ то

$$2-x>2(x+1),$$

$$3x<0,$$

$$x<0.$$

Значит, $$-1<x<0.$$

Если $$x\le -1,$$ то

$$2-x>-2(x+1),$$

$$x>-4.$$

Значит, $$-4<x\le -1.$$

Итак,

Ответ: $$x\in(-4;-1].$$

4) $$5^{|x+4|}<25^{|x|}$$

$$25^{|x|}=5^{2|x|},$$ поэтому

$$|x+4|<2|x|.$$

Рассмотрим случаи.

Если $$x\ge 0,$$ то

$$x+4<2x,$$

$$x>4.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

$$|x+4|<-2x.$$

При $$x\ge -4$$ имеем $$x+4<-2x,$$ откуда

$$3x<-4,$$

$$x<-\frac{4}{3}.$$

При $$x<-4$$ получаем $$-(x+4)<-2x,$$ то есть

$$x<4,$$

что верно для всех $$x<-4.$$

Объединяя, получаем

Ответ: $$x\in(-\infty;-\frac{4}{3})\cup(4;+\infty).$$