Упр.265 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) 3^|x-2| < 9;
2) 4^|x+1| > 16;
3) 2^|x-2| > 4^|x+1|;
4) 5^|x+4| < 25^|x|.
$$3^{|x-2|} < 9 = 3^2$$
Так как основание $$3 > 1$$, получаем:
$$|x-2| < 2$$
$$-2 < x-2 < 2$$
$$0 < x < 4$$
$$4^{|x+1|} > 16 = 4^2$$
Так как основание $$4 > 1$$, получаем:
$$|x+1| > 2$$
$$x+1 < -2 \quad \text{или} \quad x+1 > 2$$
$$x < -3 \quad \text{или} \quad x > 1$$
$$2^{|x-2|} > 4^{|x+1|} = 2^{2|x+1|}$$
Так как основание $$2 > 1$$, получаем:
$$|x-2| > 2|x+1|$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x \ge 2$$, то
$$x-2 > 2(x+1)$$
$$x-2 > 2x+2$$
$$x < -4$$
Это невозможно при $$x \ge 2$$.
2) Если $$-1 \le x < 2$$, то
$$2-x > 2(x+1)$$
$$2-x > 2x+2$$
$$-3x > 0$$
$$x < 0$$
Значит, $$-1 \le x < 0$$.
3) Если $$x < -1$$, то
$$2-x > 2(-x-1)$$
$$2-x > -2x-2$$
$$x > -4$$
Значит, $$-4 < x < -1$$.
Объединяя, получаем:
$$-4 < x < 0$$
$$5^{|x+4|} < 25^{|x|} = 5^{2|x|}$$
Так как основание $$5 > 1$$, получаем:
$$|x+4| < 2|x|$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x \ge 0$$, то
$$x+4 < 2x$$
$$x > 4$$
2) Если $$x < 0$$, то $$|x|=-x$$, и
$$|x+4| < -2x$$
Если $$x \ge -4$$, то
$$x+4 < -2x$$
$$3x < -4$$
$$x < -\frac{4}{3}$$
Если $$x < -4$$, то
$$-(x+4) < -2x$$
$$x < 4$$
Это верно при всех $$x < -4$$.
Итак, получаем:
$$x < -\frac{4}{3} \quad \text{или} \quad x > 4$$
Ответ
1) $$x \in (0;4)$$
2) $$x \in (-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$
3) $$x \in (-4;0)$$
4) $$x \in \left(-\infty;-\frac{4}{3}\right)\cup(4;+\infty)$$
