Упр.263 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Построить график функции:

1. $$y=2^{x+|x|}$$;
2. $$y=\left|3^{|x|}-3\right|$$.

1) Рассмотрим функцию $$y=2^{x+|x|}.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$y=2^{x-x}=2^0=1.$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$y=2^{x+x}=2^{2x}.$$

Следовательно,

$$y= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2^{2x}, & x\ge 0. \end{cases}$$

Для построения отметим несколько точек:

При $$x<0$$ график — горизонтальная прямая $$y=1,$$ а при $$x\ge 0$$ — ветвь экспоненты $$y=2^{2x}.$$

2) Рассмотрим функцию $$y=\left|3^{|x|}-3\right|.$$

Функция чётная, так как

$$y(-x)=\left|3^{|-x|}-3\right|=\left|3^{|x|}-3\right|=y(x).$$

Сначала построим график функции $$y=3^{|x|}.$$ Для $$x\ge 0$$ имеем $$y=3^x,$$ а для $$x<0$$ — симметричную ей часть относительно оси $$Oy$$.

Затем график сдвигаем вниз на $$3$$ единицы и берём модуль, то есть часть, лежащую ниже оси $$Ox,$$ отражаем вверх.

Удобные точки для построения:

Итак, график функции $$y=\left|3^{|x|}-3\right|$$ симметричен относительно оси $$Oy,$$ проходит через точки $$(-1,0),$$ $$(0,2),$$ $$(1,0)$$ и быстро возрастает при $$|x|>1.$$

Ответ

1) $$y= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2^{2x}, & x\ge 0. \end{cases}$$

2) $$y=\left|3^{|x|}-3\right|.$$