Упр.262 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) система
2^(x-y) =128,
(1/2)^(x-2y+1) = 1/8;
2) система
2x*5y =10,
5y-2x=3.

1. $$ \begin{cases} 2^{x-y}=128,\\ \left(\dfrac12\right)^{x-2y+1}=\dfrac18 \end{cases} $$

   Представим числа в виде степеней двойки:

   $$ 128=2^7,\qquad \dfrac18=\left(\dfrac12\right)^3 $$

   Тогда получаем:

   $$ \begin{cases} x-y=7,\\ x-2y+1=3 \end{cases} $$

   Из первого уравнения $$x=7+y$$. Подставим во второе:

   $$ 7+y-2y+1=3 $$

   $$ -y=-5,\qquad y=5 $$

   Тогда

   $$ x=7+5=12 $$

2. $$ \begin{cases} 2^x\cdot 5^y=10,\\ 5^y-2^x=3 \end{cases} $$

   Сделаем замену:

   $$ a=2^x,\qquad b=5^y $$

   Тогда система примет вид:

   $$ \begin{cases} ab=10,\\ b-a=3 \end{cases} $$

   Из второго уравнения $$b=a+3$$. Подставим в первое:

   $$ a(a+3)=10 $$

   $$ a^2+3a-10=0 $$

   $$ (a+5)(a-2)=0 $$

   $$ a=-5 \text{ или } a=2 $$

   Так как $$a=2^x>0$$, то $$a=2$$. Тогда

   $$ 2^x=2 \Rightarrow x=1 $$

   $$ b=a+3=5,\qquad 5^y=5 \Rightarrow y=1 $$

Ответ

1) $$ (12; 5) $$; 2) $$ (1; 1) $$.