Упр.262 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить систему уравнений:

1. $$\begin{cases}2^{x-y}=128,\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2y+1}=\frac{1}{8};\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}2^x\cdot 5^y=10,\\ 5^y-2^x=3.\end{cases}$$

1) $$2^{x-y}=128,\qquad \left(\frac12\right)^{x-2y+1}=\frac18$$

Представим числа в виде степеней двойки:

$$128=2^7,\qquad \frac18=\left(\frac12\right)^3$$

Тогда получаем систему:

$$\begin{cases} x-y=7,\\ x-2y+1=3. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$x=7+y$$. Подставим во второе:

$$7+y-2y+1=3$$

$$-y=-5,\qquad y=5$$

Тогда

$$x=7+5=12$$

Следовательно,

$$(12;\,5)$$

2) $$2^x\cdot 5^y=10,\qquad 5^y-2^x=3$$

Сделаем замену:

$$a=2^x,\qquad b=5^y$$

Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} ab=10,\\ b-a=3. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$b=a+3$$. Подставим в первое:

$$a(a+3)=10$$

$$a^2+3a-10=0$$

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-10)=49$$

$$a=\frac{-3\pm 7}{2}$$

Получаем:

$$a_1=2,\qquad a_2=-5$$

Так как $$a=2^x>0$$, значение $$a=-5$$ не подходит. Значит, $$a=2$$, тогда

$$2^x=2 \Rightarrow x=1$$

Найдём $$b$$:

$$b=a+3=2+3=5$$

$$5^y=5 \Rightarrow y=1$$

$$(1;\,1)$$