Упр.26 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. В угол, равный $$60^\circ$$, последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 5, б). Радиус первой окружности равен $$R_1$$. Найти радиусы $$R_2, R_3, \ldots, R_n, \ldots$$ остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма $$R_1+2(R_2+R_3+\ldots+R_n+\ldots)$$ равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.

Рассмотрим две соседние окружности с радиусами $$R_n$$ и $$R_{n+1}$$ и центрами $$O_n$$ и $$O_{n+1}$$. Пусть они касаются сторон угла в точках $$A_n$$ и $$A_{n+1}$$ соответственно.

Тогда

$$O_nA_n=R_n,\qquad O_{n+1}A_{n+1}=R_{n+1}.$$

Опустим из точки $$O_{n+1}$$ перпендикуляр на отрезок $$O_nA_n$$ и обозначим основание через $$B$$. Тогда

$$O_nB=O_nA_n-A_nB=R_n-R_{n+1}.$$

Так как центры вписанных окружностей лежат на биссектрисе угла, то угол между лучом биссектрисы и стороной угла равен $$30^\circ$$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$O_nO_{n+1}B$$ имеем

$$O_nB=\frac12\,O_nO_{n+1}.$$

Но

$$O_nO_{n+1}=O_nA_n+O_{n+1}A_{n+1}=R_n+R_{n+1}.$$

Значит,

$$R_n-R_{n+1}=\frac12(R_n+R_{n+1}).$$

Отсюда

$$2R_n-2R_{n+1}=R_n+R_{n+1},$$

$$R_n=3R_{n+1},$$

то есть

$$R_{n+1}=\frac13R_n.$$

Следовательно, радиусы образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем

$$q=\frac13.$$

Тогда

$$R_n=R_1\left(\frac13\right)^{n-1}.$$

Теперь найдём сумму

$$R_1+2(R_2+R_3+\cdots).$$

Так как $$R_2,R_3,\dots$$ — геометрическая прогрессия, то

$$R_2+R_3+\cdots=\frac{R_2}{1-q}=\frac{R_1/3}{1-1/3}=\frac{R_1}{2}.$$

Значит,

$$R_1+2(R_2+R_3+\cdots)=R_1+2\cdot\frac{R_1}{2}=2R_1.$$

С другой стороны, расстояние от вершины угла до центра первой окружности равно

$$\frac{R_1}{\sin 30^\circ}=\frac{R_1}{1/2}=2R_1.$$

Следовательно,

$$R_1+2(R_2+R_3+\cdots)=2R_1,$$

то есть это расстояние от центра первой окружности до вершины угла.

Ответ

$$R_n=R_1\left(\frac13\right)^{n-1}=\frac{R_1}{3^{\,n-1}}.$$

Радиусы образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с знаменателем $$q=\frac13$$, а

$$R_1+2(R_2+R_3+\cdots)=2R_1.$$