Упр.258 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение (258—260).
   258. 1) $$0{,}6^x\cdot(25-9)^{x^2-12}=\left(\frac{27}{125}\right)^3$$;
   2) $$16\sqrt{0{,}25^{5-\frac{x}{4}}}=2^{\sqrt{x+1}}$$.

1) $$0{,}6^x\cdot\left(\frac{25}{9}\right)^{x^2-12}=\left(\frac{27}{125}\right)^3$$

Представим всё в виде степеней числа $$\frac35$$:

$$\left(\frac35\right)^x\cdot\left(\frac53\right)^{2(x^2-12)}=\left(\frac35\right)^9$$

$$\left(\frac35\right)^x\cdot\left(\frac35\right)^{-2(x^2-12)}=\left(\frac35\right)^9$$

$$\left(\frac35\right)^{x-2x^2+24}=\left(\frac35\right)^9$$

Тогда

$$x-2x^2+24=9$$

$$2x^2-x-15=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-15)=121$$

$$x=\frac{1\pm11}{4}$$

$$x_1=-\frac52,\quad x_2=3$$

2) $$16\sqrt{0{,}25^{\,5-\frac{x}{4}}}=2^{\sqrt{x+1}}$$

Так как $$16=2^4$$ и $$0{,}25=\frac14=2^{-2}$$, получаем:

$$2^4\cdot\sqrt{\left(2^{-2}\right)^{5-\frac{x}{4}}}=2^{\sqrt{x+1}}$$

$$2^4\cdot 2^{-\frac12\left(10-\frac{x}{2}\right)}=2^{\sqrt{x+1}}$$

$$2^{\frac{x}{4}-1}=2^{\sqrt{x+1}}$$

Следовательно,

$$\frac{x}{4}-1=\sqrt{x+1}$$

Область определения: $$x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -1$$.

Возведём в квадрат:

$$\left(\frac{x}{4}-1\right)^2=x+1$$

$$\frac{x^2}{16}-\frac{x}{2}+1=x+1$$

$$x^2-24x=0$$

$$x(x-24)=0$$

$$x_1=0,\quad x_2=24$$

Проверка:

$$x=0:\ \frac{0}{4}-1=-1\ne \sqrt{1}=1$$

$$x=24:\ \frac{24}{4}-1=5,\quad \sqrt{25}=5$$

Подходит только $$x=24$$.

Ответ: 1) $$x=-\frac52,\ 3$$; 2) $$x=24$$.