Упр.257 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Построить график функции:

1) $$y=3x-1$$; 2) $$y=3^{x-1}$$; 3) $$y=2^{2-x}+3$$.

Подробный ответ

1) Рассмотрим функцию $$y=3^x-1.$$

График функции $$y=3^x$$ сдвигаем вниз на 1 единицу вдоль оси $$Oy$$.

Для построения возьмём несколько точек графика $$y=3^x$$:

$$x$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$
$$y=3^x$$	$$1$$	$$3$$	$$9$$
$$y=3^x-1$$	$$0$$	$$2$$	$$8$$

Получаем график возрастающей показательной функции, проходящий через точку $$\left(0,0\right)$$ и имеющий горизонтальную асимптоту $$y=-1$$.

2) Рассмотрим функцию $$y=3^{x-1}.$$

Это график функции $$y=3^x$$, сдвинутый вправо на 1 единицу вдоль оси $$Ox$$.

Возьмём точки графика $$y=3^x$$ и сдвинем их вправо на 1:

$$x$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$
$$y=3^x$$	$$1$$	$$3$$	$$9$$
$$y=3^{x-1}$$	$$\frac13$$	$$1$$	$$3$$

График остаётся возрастающим, его горизонтальная асимптота — $$y=0$$.

3) Рассмотрим функцию $$y=2^{2-x}+3.$$

Преобразуем её:

$$y=2^{2-x}+3=\left(\frac12\right)^{x-2}+3.$$

Сначала строим график функции $$y=\left(\frac12\right)^x$$, затем сдвигаем его вправо на 2 единицы и вверх на 3 единицы.

Для исходной функции возьмём точки:

$$x$$	$$-3$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$
$$y=\left(\frac12\right)^x$$	$$8$$	$$4$$	$$2$$	$$1$$
$$y=\left(\frac12\right)^{x-2}+3$$	$$11$$	$$7$$	$$5$$	$$4$$

Это убывающая показательная функция с горизонтальной асимптотой $$y=3$$.

Ответ

1) График $$y=3^x-1$$ — график $$y=3^x$$, сдвинутый вниз на 1.
2) График $$y=3^{x-1}$$ — график $$y=3^x$$, сдвинутый вправо на 1.
3) График $$y=2^{2-x}+3$$ — график $$y=\left(\frac12\right)^x$$, сдвинутый вправо на 2 и вверх на 3.