Упр.253 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство:
   1) $$3^{x-2}>9$$;
   2) $$5^{2x}<\frac{1}{25}$$;
   3) $$0{,}7^{x^2+2x}<0{,}7^3$$;
   4) $$\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2}>\frac{1}{81}$$.

1) $$3^{x-2}>9$$

Представим число $$9$$ как степень тройки:

$$3^{x-2}>3^2$$

Так как основание $$3>1$$, сравниваем показатели:

$$x-2>2$$

$$x>4$$

2) $$5^{2x}<\frac{1}{25}$$

Запишем правую часть как степень числа $$5$$:

$$\frac{1}{25}=5^{-2}$$

Тогда

$$5^{2x}<5^{-2}$$

Так как основание $$5>1$$, получаем:

$$2x<-2$$

$$x<-1$$

3) $$0{,}7^{x^2+2x}<0{,}7^3$$

Поскольку $$0{,}7<1$$, при сравнении степеней знак неравенства меняется:

$$x^2+2x>3$$

$$x^2+2x-3>0$$

$$\left(x+3\right)\left(x-1\right)>0$$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>1$$

4) $$\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2}>\frac{1}{81}$$

Представим правую часть в виде степени числа $$\frac{1}{3}$$:

$$\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{3}\right)^4$$

Тогда

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2}>\left(\frac{1}{3}\right)^4$$

Так как основание $$\frac{1}{3}<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

$$x^2<4$$

$$-2<x<2$$

Ответ

1) $$x>4$$; 2) $$x<-1$$; 3) $$x<-3 \,\cup\, x>1$$; 4) $$-2<x<2$$.