Упр.252 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$5^{2x}-5^x-600=0$$
2. $$9^x-3^x-6=0$$
3. $$3^x+9^{x-1}-810=0$$
4. $$4^x+2^{x+1}-80=0$$

1) $$5^{2x}-5^x-600=0$$

Сделаем замену: $$5^x=t,$$ тогда $$t^2-t-600=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-25\right)\left(t+24\right)=0.$$

Получаем: $$t=25$$ или $$t=-24.$$

Так как $$5^x>0,$$ значение $$t=-24$$ не подходит. Тогда

$$5^x=25=5^2,$$

откуда $$x=2.$$

2) $$9^x-3^x-6=0$$

Представим $$9^x$$ как $$3^{2x}:$$

$$3^{2x}-3^x-6=0.$$

Сделаем замену: $$3^x=t,$$ тогда

$$t^2-t-6=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0.$$

Получаем: $$t=3$$ или $$t=-2.$$

Так как $$3^x>0,$$ значение $$t=-2$$ не подходит. Тогда

$$3^x=3=3^1,$$

откуда $$x=1.$$

3) $$3^x+9^{x-1}-810=0$$

Преобразуем:

$$9^{x-1}=\frac{9^x}{9}=\frac{(3^2)^x}{9}=\frac{3^{2x}}{9}=\frac{(3^x)^2}{9}.$$

Сделаем замену: $$3^x=t,$$ тогда

$$t+\frac{t^2}{9}-810=0.$$

Умножим на $$9$$:

$$t^2+9t-7290=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-81\right)\left(t+90\right)=0.$$

Получаем: $$t=81$$ или $$t=-90.$$

Так как $$3^x>0,$$ значение $$t=-90$$ не подходит. Тогда

$$3^x=81=3^4,$$

откуда $$x=4.$$

4) $$4^x+2^{x+1}-80=0$$

Представим $$4^x$$ как $$2^{2x}:$$

$$2^{2x}+2\cdot 2^x-80=0.$$

Сделаем замену: $$2^x=t,$$ тогда

$$t^2+2t-80=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-8\right)\left(t+10\right)=0.$$

Получаем: $$t=8$$ или $$t=-10.$$

Так как $$2^x>0,$$ значение $$t=-10$$ не подходит. Тогда

$$2^x=8=2^3,$$

откуда $$x=3.$$

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=1$$; 3) $$x=4$$; 4) $$x=3$$.