Упр.250 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение (250–252).

250. 1) $$1{,}5^{5x-7}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}$$;
     2) $$0{,}75^{2x-3}=\left(1*\frac{1}{3}\right)^{5x-1}$$;
     3) $$5^{x^2-5x-6}=1$$;
     4) $$\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-2}=\frac{1}{7}$$.

1) $$1{,}5^{5x-7}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}$$

$$1{,}5=\frac{3}{2}, \quad \left(\frac{3}{2}\right)^{5x-7}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-x-1}$$

Тогда

$$5x-7=-x-1$$

$$6x=6$$

$$x=1$$

2) $$0{,}75^{2x-3}=\left(1\frac{1}{3}\right)^{5x-1}$$

$$0{,}75=\frac{3}{4}, \quad 1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$$

$$\left(\frac{3}{4}\right)^{2x-3}=\left(\frac{4}{3}\right)^{5x-1}=\left(\frac{3}{4}\right)^{-5x+1}$$

Следовательно,

$$2x-3=-5x+1$$

$$7x=4$$

$$x=\frac{4}{7}$$

3) $$5^{x^2-5x-6}=1$$

Так как $$5^0=1$$, то

$$x^2-5x-6=0$$

$$D=25+24=49$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=6$$

4) $$\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-2}=\frac{1}{7}$$

$$\frac{1}{7}=\left(\frac{1}{7}\right)^1$$

Тогда

$$x^2-2x-2=1$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$D=4+12=16$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=3$$

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=\frac{4}{7}$$; 3) $$x=-1,\ 6$$; 4) $$x=-1,\ 3$$.