Упр.245 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases} (5^x)^y=5^{21},\\ 5^x\cdot5^y=5^{10},\\ 3^x>3^y \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} (0,2^y)^x=0,008,\\ 0,4^y=0,4^{3,5-x},\\ 2^x\cdot0,5^y>1 \end{cases}$$

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} (5^x)^y=5^{21},\\ 5^x\cdot 5^y=5^{10},\\ 3^x>3^y. \end{cases}$$

Тогда

$$\begin{cases} 5^{xy}=5^{21},\\ 5^{x+y}=5^{10},\\ x>y. \end{cases}$$

Следовательно,

$$\begin{cases} xy=21,\\ x+y=10,\\ x>y. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$y=10-x$$. Подставим в первое:

$$x(10-x)=21,$$

$$x^2-10x+21=0,$$

$$(x-3)(x-7)=0.$$

Получаем $$x=3$$ или $$x=7$$. Тогда соответственно $$y=7$$ или $$y=3$$. Условию $$x>y$$ удовлетворяет только пара $$x=7,\ y=3$$.

Ответ: $$(7;\,3).$$

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} (0{,}2^x)^y=0{,}008,\\ (0{,}4)^y=(0{,}4)^{3{,}5-x},\\ 2^x\cdot 0{,}5^y<1. \end{cases}$$

Преобразуем:

$$\begin{cases} 0{,}2^{xy}=0{,}2^3,\\ y=3{,}5-x,\\ 2^x\cdot 2^{-y}<1. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} xy=3,\\ y=3{,}5-x,\\ x-y<0. \end{cases}$$

Подставим $$y=3{,}5-x$$ в уравнение $$xy=3$$:

$$x(3{,}5-x)=3,$$

$$x^2-3{,}5x+3=0.$$

Умножим на 2:

$$2x^2-7x+6=0,$$

$$(2x-3)(x-2)=0.$$

Тогда $$x=\frac{3}{2}$$ или $$x=2$$. Проверяем неравенство $$x<y$$:

при $$x=\frac{3}{2}$$ имеем $$y=3{,}5-\frac{3}{2}=2$$, и $$\frac{3}{2}<2$$ — подходит;

при $$x=2$$ получаем $$y=1{,}5$$, но $$2<1{,}5$$ неверно.

Значит, искомая пара:

Ответ: $$(\frac{3}{2};\,2).$$