Упр.244 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 244. Решить систему (244—245).
   1) $$\begin{cases}5^{2x+1}>625,\\11^{6x^2-10x}=11^{9x-15};\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}0{,}3^{10x^2-47x}=0{,}3^{-10x-7},\\3{,}7^{x^2}=3{,}7^{0{,}04}.\end{cases}$$

1. Решим систему

   $$\begin{cases} 5^{2x+1} > 625, \\ 11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15}. \end{cases}$$

   Так как $$625=5^4,$$ то

   $$5^{2x+1} > 5^4 \Rightarrow 2x+1 > 4 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{2}.$$

   Из равенства степеней с одинаковым основанием получаем

   $$6x^2-10x=9x-15.$$

   Тогда

   $$6x^2-19x+15=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=19^2-4\cdot 6\cdot 15=361-360=1,$$

   $$x_{1,2}=\frac{19\pm 1}{12}.$$

   Отсюда

   $$x_1=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}, \qquad x_2=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}.$$

   С учётом неравенства $$x>\frac{3}{2}$$ подходит только $$x=\frac{5}{3}.$$

2. Решим систему

   $$\begin{cases} 0{,}3^{10x^2-47x}=0{,}3^{-10x-7}, \\ 3{,}7^{x^2}=3{,}7^{0{,}04}. \end{cases}$$

   Из первого уравнения получаем

   $$10x^2-47x=-10x-7,$$

   то есть

   $$10x^2-37x+7=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=37^2-4\cdot 10\cdot 7=1369-280=1089,$$

   $$x_{1,2}=\frac{37\pm 33}{20}.$$

   Следовательно,

   $$x_1=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}, \qquad x_2=\frac{70}{20}=\frac{7}{2}.$$

   Из второго уравнения:

   $$x^2=0{,}04 \Rightarrow x=\pm 0{,}2.$$

   Общим решением является только $$x=0{,}2=\frac{1}{5}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{5}{3}$$; 2) $$x=\frac{1}{5}$$.