Упр.239 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство:
   1) $$0{,}4^x-2{,}5^{x+1}>1{,}5$$;
   2) $$25\cdot 0{,}04^{2x}>0{,}2^{x(3-x)}$$;
   3) $$\frac{4^x}{4^x-3^x}<4$$;
   4) $$\left(\frac{1}{4}\right)^x-32\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^{x^2-1}<0$$.

1) $$0,4^x-2,5^{x+1}>1,5$$

$$\left(\frac25\right)^x-2,5\left(\frac52\right)^x-1,5>0$$

Положим $$t=\left(\frac25\right)^x$$. Тогда $$\left(\frac52\right)^x=\frac1t$$, и получаем

$$t-\frac{2,5}{t}-1,5>0$$

Умножим на $$t>0$$:

$$t^2-1,5t-2,5>0$$

$$2t^2-3t-5>0$$

$$\left(2t-5\right)\left(t+1\right)>0$$

Так как $$t>0$$, то $$t+1>0$$, значит

$$2t-5>0,\quad t>\frac52$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\left(\frac25\right)^x>\frac52=\left(\frac25\right)^{-1}$$

Так как $$0<\frac25<1$$, получаем

$$x<-1$$

2) $$25\cdot 0,04^{2x}>0,2^{x(3-x)}$$

$$0,04^{2x}>\frac1{25}\cdot 0,2^{x(3-x)}$$

$$\left(\frac1{25}\right)^{2x}>\left(\frac15\right)^2\cdot \left(\frac15\right)^{x(3-x)}$$

$$\left(\frac15\right)^{4x}>\left(\frac15\right)^{x(3-x)+2}$$

Так как $$0<\frac15<1$$, то

$$4x<x(3-x)+2$$

$$x^2+x-2<0$$

$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)<0$$

$$-2<x<1$$

3) $$\frac{4^x}{4^x-3^x}<4$$

Обозначим $$a=4^x$$, $$b=3^x$$. Тогда $$a>0$$, $$b>0$$, и

$$\frac{a}{a-b}<4$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a<4a-4b$$

$$3a>4b$$

$$\left(\frac43\right)^x>\frac43$$

Так как $$\frac43>1$$, получаем

$$x>1$$

При этом знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$4^x-3^x\ne 0 \;\Rightarrow\; x\ne 0$$

Но условие $$x>1$$ его уже учитывает. Значит,

$$x>1$$

4) $$\left(\frac14\right)^x-32\cdot \left(\frac18\right)^{x^2-1}<0$$

$$\left(\frac12\right)^{2x}-2^5\cdot \left(\frac12\right)^{3(x^2-1)}<0$$

$$\left(\frac12\right)^{2x}<\left(\frac12\right)^{3x^2-3}\cdot 2^5$$

$$\left(\frac12\right)^{2x}<\left(\frac12\right)^{3x^2-8}$$

Так как $$0<\frac12<1$$, то

$$2x>3x^2-8$$

$$3x^2-2x-8<0$$

$$\left(3x+4\right)\left(x-2\right)<0$$

$$-\frac43<x<2$$

Ответ: 1) $$x<-1$$; 2) $$-2<x<1$$; 3) $$x>1$$; 4) $$-\frac43<x<2$$.