Упр.239 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) 0,4x-2,5^(x+1) > 1,5;
2)25* 0,04^2x > 0,2^(x(3-x));
3)4x/(4x-3x) < 4; 4)(1/4)x - 32* (1/8)^(x2-1) < 0.

Подробный ответ

$$0{,}4^x-2{,}5^{x+1}>1{,}5$$
$$\left(\frac25\right)^x-2{,}5\left(\frac52\right)^x-1{,}5>0$$
Положим $$y=\left(\frac25\right)^x$$. Тогда $$\left(\frac52\right)^x=\frac1y$$, и получаем:
$$y-\frac{2{,}5}{y}-1{,}5>0$$
Умножим на $$y>0$$:
$$y^2-1{,}5y-2{,}5>0$$
$$2y^2-3y-5>0$$
$$ (2y-5)(y+1)>0 $$
Так как $$y>0$$, то подходит только $$y>\frac52$$.
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\left(\frac25\right)^x>\frac52=\left(\frac25\right)^{-1}$$
Так как $$0<\frac25<1$$, знак неравенства меняется:
$$x<-1$$
$$25\cdot 0{,}04^{2x}>0{,}2^{x(3-x)}$$
$$0{,}04=\left(0{,}2\right)^2,\qquad 25=\left(\frac1{0{,}2}\right)^2$$
Тогда
$$0{,}2^{4x-2}>0{,}2^{3x-x^2}$$
Так как $$0<0{,}2<1$$, получаем:
$$4x-2<3x-x^2$$
$$x^2+x-2<0$$
$$ (x+2)(x-1)<0 $$
Отсюда
$$-2<x<1$$
$$\frac{4^x}{4^x-3^x}<4$$
Пусть $$t=\left(\frac34\right)^x$$. Тогда
$$\frac1{1-t}<4$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$1-t>0$$, то
$$1<4(1-t)$$
$$4t<3$$
$$\left(\frac34\right)^x<\frac34=\left(\frac34\right)^1$$
Так как $$0<\frac34<1$$, получаем $$x>1$$.
2) Если $$1-t<0$$, то левая часть отрицательна, а значит неравенство выполняется автоматически. Это соответствует
$$1-\left(\frac34\right)^x<0$$
$$\left(\frac34\right)^x>1$$
$$x<0$$
Итак,
$$x<0 \quad \text{или} \quad x>1$$
$$\left(\frac14\right)^x-32\left(\frac18\right)^{x^2-1}<0$$
$$\left(\frac12\right)^{2x}-2^5\left(\frac12\right)^{3(x^2-1)}<0$$
$$2^{-2x}-2^{5-3x^2+3}<0$$
$$2^{-2x}<2^{8-3x^2}$$
Так как $$2>1$$, получаем:
$$-2x<8-3x^2$$
$$3x^2-2x-8<0$$
$$ (3x+4)(x-2)<0 $$
Отсюда
$$-\frac43<x<2$$