Упр.238 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. $$11^{\sqrt{x+6}}>11x$$;
2. $$0{,}3^{\sqrt{30-x}}>0{,}3x$$.

1) $$11^{\sqrt{x+6}} > 11^x$$

Так как основание $$11>1$$, сравним показатели:

$$\sqrt{x+6} > x$$

Область определения: $$x+6\ge 0,$$ то есть $$x\ge -6.$$

Возведём в квадрат с учётом условия $$x\ge 0$$, при котором неравенство $$\sqrt{x+6} > x$$ равносильно:

$$x+6 > x^2$$

$$x^2-x-6<0$$

$$\left(x+2\right)\left(x-3\right)<0$$

Отсюда:

$$-2<x<3$$

С учётом случая $$-6\le x<0$$ неравенство выполняется, значит,

$$-6<x<3$$

2) $$0{,}3^{\sqrt{30-x}} > 0{,}3^x$$

Так как $$0<0{,}3<1$$, то при сравнении показателей знак неравенства меняется:

$$\sqrt{30-x} < x$$

Область определения: $$30-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 30.$$

Кроме того, правая часть должна быть неотрицательной, значит $$x>0.$$ Тогда можно возвести в квадрат:

$$30-x<x^2$$

$$x^2+x-30>0$$

$$\left(x+6\right)\left(x-5\right)>0$$

Отсюда:

$$x<-6 \quad \text{или} \quad x>5$$

С учётом условия $$0<x\le 30$$ получаем:

$$5<x\le 30$$

Ответ

1) $$-6<x<3$$; 2) $$5<x\le 30$$.