Упр.236 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решить графически неравенство:
- 1) $$\frac{1}{3}x \geq x+1$$; 2) $$\frac{1}{2}x < x-\frac{1}{2}$$; 3) $$2x \leq 9-\frac{1}{3}x$$; 4) $$3x > -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$$.
1) Рассмотрим графики функций $$y=\left(\frac13\right)^x$$ и $$y=x+1.$$
Они пересекаются в точке $$\left(0;1\right).$$
Так как при $$x<0$$ график функции $$y=\left(\frac13\right)^x$$ расположен выше графика прямой $$y=x+1,$$ то
$$\left(\frac13\right)^x\ge x+1 \iff x\le 0.$$
2) Рассмотрим графики функций $$y=\left(\frac12\right)^x$$ и $$y=x-\frac12.$$
Они пересекаются в точке $$\left(1;\frac12\right).$$
Так как при $$x>1$$ график функции $$y=\left(\frac12\right)^x$$ расположен ниже графика прямой $$y=x-\frac12,$$ то
$$\left(\frac12\right)^x<x-\frac12 \iff x>1.$$
3) Рассмотрим графики функций $$y=2^x$$ и $$y=9-\frac13x.$$
Они пересекаются в точке $$\left(3;8\right).$$
Так как при $$x\le 3$$ график функции $$y=2^x$$ расположен ниже графика прямой $$y=9-\frac13x,$$ то
$$2^x\le 9-\frac13x \iff x\le 3.$$
4) Рассмотрим графики функций $$y=3^x$$ и $$y=-\frac23x-\frac13.$$
Они пересекаются в точке $$\left(-1;\frac13\right).$$
Так как при $$x>-1$$ график функции $$y=3^x$$ расположен выше графика прямой $$y=-\frac23x-\frac13,$$ то
$$3^x>-\frac23x-\frac13 \iff x>-1.$$
Ответ: 1) $$x\le 0$$; 2) $$x>1$$; 3) $$x\le 3$$; 4) $$x>-1$$.
