Упр.235 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ значения функции $$y=\frac{1}{4}x$$ больше значений функции $$y=\frac{1}{2}x+12$$?

Составим неравенство:

$$\left(\frac14\right)^x>\left(\frac12\right)^x+12$$

Преобразуем левую часть:

$$\left(\frac14\right)^x=\left(\left(\frac12\right)^2\right)^x=\left(\frac12\right)^{2x}$$

Тогда

$$\left(\frac12\right)^{2x}-\left(\frac12\right)^x-12>0$$

Сделаем замену:

$$t=\left(\frac12\right)^x,\quad t>0$$

Получим квадратное неравенство:

$$t^2-t-12>0$$

Разложим на множители:

$$\left(t-4\right)\left(t+3\right)>0$$

Так как $$t>0,$$ то корень $$t=-3$$ не подходит. Остаётся:

$$t>4$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\left(\frac12\right)^x>4=\left(\frac12\right)^{-2}$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ знак неравенства при переходе к показателям меняется:

$$x<-2$$

Ответ

$$x<-2$$