Упр.233 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти целые решения неравенств на отрезке $$[-3;3]$$:
1) $$9^x-3^x-6>0$$;
2) $$4^x-2^x<12$$;
3) $$5^{2x+1}+4\cdot5^x>0$$;
4) $$3\cdot9^x+11\cdot3^x<4$$.
1) Рассмотрим неравенство $$9^x-3^x-6>0.$$
Сделаем замену $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда получаем
$$t^2-t-6>0$$
$$(t-3)(t+2)>0.$$
Так как $$t>0,$$ то подходит только $$t>3.$$ Значит,
$$3^x>3^1 \Rightarrow x>1.$$
На отрезке $$[-3;3]$$ целые решения: $$2,\ 3.$$
2) Рассмотрим неравенство $$4^x-2^x<12.$$
Перенесём всё в левую часть:
$$4^x-2^x-12<0.$$
Сделаем замену $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда
$$t^2-t-12<0$$
$$(t-4)(t+3)<0.$$
С учётом $$t>0$$ получаем $$0<t<4,$$ то есть
$$2^x<4=2^2 \Rightarrow x<2.$$
На отрезке $$[-3;3]$$ целые решения: $$-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1.$$
3) Рассмотрим неравенство $$5^{2x+1}+4\cdot 5^x-1>0.$$
Сделаем замену $$t=5^x,\quad t>0.$$ Тогда
$$5t^2+4t-1>0.$$
Разложим на множители:
$$(5t-1)(t+1)>0.$$
Так как $$t>0,$$ то $$t+1>0,$$ значит,
$$5t-1>0 \Rightarrow t>\frac15.$$
Следовательно,
$$5^x>5^{-1}\Rightarrow x>-1.$$
На отрезке $$[-3;3]$$ целые решения: $$0,\ 1,\ 2,\ 3.$$
4) Рассмотрим неравенство $$3\cdot 9^x+11\cdot 3^x<4.$$
Перенесём всё в левую часть:
$$3\cdot 9^x+11\cdot 3^x-4<0.$$
Сделаем замену $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда
$$3t^2+11t-4<0.$$
Разложим на множители:
$$(3t-1)(t+4)<0.$$
Так как $$t>0,$$ то $$t+4>0,$$ значит,
$$3t-1<0 \Rightarrow t<\frac13.$$
Следовательно,
$$3^x<3^{-1}\Rightarrow x<-1.$$
На отрезке $$[-3;3]$$ целые решения: $$-3,\ -2.$$
Ответ
1) $$2,\ 3$$; 2) $$-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1$$; 3) $$0,\ 1,\ 2,\ 3$$; 4) $$-3,\ -2$$.
