Упр.232 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$3^{x+2}+3^{x-1}<28$$
2. $$2^{x-1}+2^{x+3}>17$$
3. $$2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}\geq448$$
4. $$5^{3x+1}+5^{3x-3}\leq624$$

1. $$3^{x+2}+3^{x-1}<28$$

   Вынесем $$3^x$$ за скобки:

   $$3^x\left(3^2+3^{-1}\right)<28$$

   $$3^x\left(9+\frac13\right)<28$$

   $$3^x\cdot \frac{28}{3}<28$$

   $$3^x<3$$

   $$3^x<3^1$$

   Следовательно, $$x<1$$.

2. $$2^{x-1}+2^{x+3}>17$$

   Вынесем $$2^x$$ за скобки:

   $$2^x\left(2^{-1}+2^3\right)>17$$

   $$2^x\left(\frac12+8\right)>17$$

   $$2^x\cdot \frac{17}{2}>17$$

   $$2^x>2$$

   $$2^x>2^1$$

   Следовательно, $$x>1$$.

3. $$2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}\ge 448$$

   Вынесем $$2^{2x}$$ за скобки:

   $$2^{2x}\left(2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}\right)\ge 448$$

   $$2^{2x}\left(\frac12+\frac14+\frac18\right)\ge 448$$

   $$2^{2x}\cdot \frac78\ge 448$$

   $$2^{2x}\ge 448\cdot \frac87=512$$

   $$2^{2x}\ge 2^9$$

   Следовательно, $$2x\ge 9$$, откуда $$x\ge 4{,}5$$.

4. $$5^{3x+1}-5^{3x-3}\le 624$$

   Вынесем $$5^{3x-3}$$ за скобки:

   $$5^{3x-3}\left(5^4-1\right)\le 624$$

   $$5^{3x-3}\cdot 624\le 624$$

   $$5^{3x-3}\le 1$$

   Так как основание $$5>1$$, получаем:

   $$3x-3\le 0$$

   $$x\le 1$$.

Ответ: 1) $$x<1$$; 2) $$x>1$$; 3) $$x\ge 4{,}5$$; 4) $$x\le 1$$.