Упр.231 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство:
   
   1) $$2^{-x^2+3x}<4$$;
   2) $$\left(\frac{7}{9}\right)^{2x^2-3x}\geq\frac{9}{7}$$;
   
   3) $$\left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-3x}<\frac{121}{169}$$;
   4) $$\left(2\frac{2}{3}\right)^{6x^2+x}\leq7\frac{1}{9}$$.

1) $$2^{-x^2+3x}<4$$

$$4=2^2,$$ поэтому

$$-x^2+3x<2$$

$$x^2-3x+2>0$$

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$

Тогда

$$(x-1)(x-2)>0$$

Отсюда

$$x<1 \text{ или } x>2.$$

Ответ: $$x<1,\; x>2.$$

2) $$\left(\frac79\right)^{2x^2-3x}\ge \frac97$$

$$\frac97=\left(\frac79\right)^{-1},$$ а так как $$0<\frac79<1,$$ то

$$2x^2-3x\le -1$$

$$2x^2-3x+1\le 0$$

$$(2x-1)(x-1)\le 0$$

Отсюда

$$\frac12\le x\le 1.$$

Ответ: $$\frac12\le x\le 1.$$

3) $$\left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-3x}<\frac{121}{169}$$

$$\frac{121}{169}=\left(\frac{11}{13}\right)^2=\left(\frac{13}{11}\right)^{-2},$$ а так как $$\frac{13}{11}>1,$$ то

$$x^2-3x<-2$$

$$x^2-3x+2<0$$

$$(x-1)(x-2)<0$$

Отсюда

$$1<x<2.$$

Ответ: $$1<x<2.$$

4) $$\left(2\frac23\right)^{6x^2+x}\le 7\frac19$$

$$2\frac23=\frac83,\qquad 7\frac19=\frac{64}{9}=\left(\frac83\right)^2,$$ поэтому

$$\left(\frac83\right)^{6x^2+x}\le \left(\frac83\right)^2$$

Так как $$\frac83>1,$$ получаем

$$6x^2+x\le 2$$

$$6x^2+x-2\le 0$$

$$(3x+2)(2x-1)\le 0$$

Отсюда

$$-\frac23\le x\le \frac12.$$

Ответ: $$-\frac23\le x\le \frac12.$$